Metodo De Gauss

Introducción

Hay varias objeciones que son necesarias eliminar antes de escribir un programa de computadora que ejecute la eliminación gaussiana. En un sistema grande de ecuaciones, y ésta es la situación para la que es necesario prepararse, las multiplicaciones proporcionan números muy grandes y difíciles de manejar que pueden desbordar los registros de la computadora.

Para el desarrollo de métodos de soluciones de ecuaciones es necesario tener en cuenta algunos conceptos básicos que nos permiten comprender como podemos hallar tales soluciones según las características de las matrices obtenidas, pudiendo tener facilidades a la hora de realizar las operaciones requeridas o llevar a cabo los procesos necesarios. Cuando se hace referencia al método de gauss simple, encaminamos la solución de un sistema de ecuaciones lineal a la triangulación del sistema, obteniendo así, una solución simple como se explicará a continuación.

Método de Gauss ó Método de Eliminación Gaussiana.

El método de Gauss, también conocido como método de eliminación simple de Gauss, es una de las primeras técnicas empleadas por actuarios, matemáticos e ingenieros para la resolución de sistemas de ecuaciones. El método comprende dos fases:

• Eliminación de las incógnitas hacia adelante.

• Sustitución hacia atrás.

La primera fase tiene el objetivo de reducir el sistema original a una forma triangular superior. Por ejemplo, para un sistema de n ecuaciones en n incógnitas que se representa con la siguiente matriz aumentada:

(3)

El paso inicial será eliminar la primera incógnita, x1 desde la segunda hasta la n-ésima ecuación. Para ello, se multiplica la ecuación inicial por a21/a11 para obtener:

(4)

Esta ecuación se sustrae del segundo renglón de la matriz (3) para obtener:

(5)

Que a su vez puede representarse por:

(6)

Donde el superíndice prima indica que los elementos han cambiado sus valores originales. Por ejemplo para eliminar la primera incógnita x1, de la tercera ecuación del sistema (renglón tres de la matriz (3)), se resta a ésta el producto del primer renglón (primera ecuación del sistema) de la matriz (3) por a31/a11. Repitiendo estos pasos con las ecuaciones restantes del sistema (renglones restantes de la matriz (3), se da paso al siguiente sistema modificado:

(7)

En este primer conjunto de operaciones realizado para las ecuaciones dos hasta n, (renglones dos hasta n de la matriz (3)) se dice que la primera ecuación del sistema es la ecuación pivote y al coeficiente a11, se le conoce como coeficiente o elemento pivote. Es frecuente referirse al proceso de eliminar incógnitas hacia delante con el nombre de normalización de un sistema de ecuaciones. Una vez que se ha eliminado del sistema la primera incógnita x1 desde la segunda ecuación hasta la n-ésima, se procede a eliminar la segunda incógnita x2, desde la tercera ecuación del sistema hasta la n-ésima, con lo que el sistema toma la siguiente forma:

(8)

El doble apóstrofo de bi-primalidad, indica que los coeficientes a los que afecta, han sido sujetos a un proceso operaciones de normalización dos veces. Este proceso continua hasta eliminar la incógnita xn-1 de la n-ésima ecuación, obteniendo la siguiente matriz modificada final:

(9)

Como puede observarse, es una matriz triangular superior, en donde los apóstrofos de primalidad ('), bi-primalidad (''),…, n-1 primalidad (n-1), indican el número de operaciones de normalización aplicadas a cada ecuación del sistema. La segunda fase de la eliminación de Gauss, consiste en que, una vez que se ha obtenido una matriz triangular superior a través de operaciones de normalización, realizar la sustitución hacia atrás. Este proceso comienza despejando Xn de la última ecuación (último renglón de la matriz (9))

(10)

A su vez, este resultado se sustituye hacia atrás en la ecuación n-1 del sistema modificado final, (renglón n -1 de la matriz (9)). Este mecanismo se repite para las X restantes, lo que se representa mediante la expresión general:

(11)

Para todo i = n-1, n-2,…,1.

EJERCICIO.

Aplicando el método de eliminación de Gauss y empleando seis dígitos significativos, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

3x1– 0.1x2– 0.2x3= 7.85 (1)

0.1x1+ 7x2– 0.3x3= -19.3 (2)

0.3x1– 0.2x2+ 10x3= 71.4 (3)

Solución.

Solución. Aplicando el proceso de eliminación hacia delante, se multiplica la ecuación (1) por 0,1/3 y se sustrae el resultado de la ecuación (2), obteniéndose:

Luego se realiza el producto de la ecuación (2) por y se sustrae de la ecuación (3) para eliminar x1. Como resultado de estas operaciones, se tiene el siguiente sistema modificado:

1 – 0.1x2– 0.2x3 = 7.85 (1)

7.00333x2– 0.293333x3= -19.561 (2)

– 0.1900002x2 + 10.0200x3 = 70.6150 (3)

Una vez hecho lo anterior, se procede a eliminar x2 de la ecuación (3). Para ello, se realiza el producto de la ecuación (2) por (-0,19002/7,00333)y el resultado se sustrae de la ecuación (3). Este proceso elimina a x2 de la tercera ecuación, completando la fase de eliminación hacia delante, obteniendo un sistema correspondiente a una forma triangular superior:

1 – 0.1x2 – 0.2x3 = 7.85 (4)

7.00333x2 – 0.293333x3= -19.561 (5)

+ 10.0200x3 = 70.6150 (6)

En consecuencia, se procede a la sustitución hacia atrás. Primeramente, de la ecuación (6) se despeja

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