Método De Gauss-Seidel

Método de Gauss-Seidel

Este método se basa en la aproximación iterativa propuesta por Seidel en 1874 (Academia de Ciencias de Munich). Para la aplicación al problema del flujo de potencia, las ecuaciones de nodo y condiciones de contorno se combinan, para el nodo k:

De donde se puede expresar la tensión Vk como:

La ecuación anterior es el corazón del algoritmo iterativo. La iteración comienza con una estimación de las magnitudes y ángulos de todas las barras del sistema, y se van recalculando las tensiones utilizando los mejores valores disponibles. Esto es, para calcular la tensión Vk se utilizan los V1...k-1 ya actualizados, y los Vk...n del paso anterior. El método tiene una convergencia extremadamente lenta pero segura (excepto para problemas mal condicionados, o sin convergencia posible.

El método de Gauss-Seidel es un refinamiento del método de Jacobi que generalmente (pero no siempre) converge más rápido. El último valor de cada variable es sustituido en cada paso en el proceso iterativo. El método de Gauss-Seidel, es un método iterativo y por lo mismo, resulta ser un método bastante eficiente. A continuación se presenta un sistema de ecuaciones:

De la ecuación 1 se despeja , de la ecuación 2 despeja , …, de la ecuación n se despeja . Resolviendo lo anterior se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones:

Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas. Para comenzar el proceso iterativo, le se le asigna el valor de cero a las variables ; esto dará un primer valor para . Más precisamente, se tiene que:

A continuación, se sustituye este valor de en la ecuación 2, y las variables siguen teniendo el valor de cero. Esto nos da el siguiente valor para :

Estos últimos valores de y , se sustituyen en la ecuación 3, mientras que siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso, darán una lista de primeros valores para las incógnitas, la cual conforma el primer paso en el proceso iterativo. Digamos que se tiene:

Se repite el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos en vez de ceros como al inicio, se obtendrá una segunda lista de valores para cada una de las incógnitas. Por lo tanto ahora se tiene:

En este momento, se puede calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. Así, se tiene la lista de errores como sigue:

El proceso se vuelve a repetir hasta que:

donde es una cota suficiente prefijada.

Criterio de Convergencia para el método de Gauss-Seidel

El método de Gauss-Seidel surgio como una modificación del método de Jacobi que acelera la convergencia de éste.

El método de Gauss-Seidel recorta sustancialmente el número de iteraciones a realizar para obtener una cierta precisión en la solución. Evidentemente los criterios de convergencia son similares a los de Jacobi.

Este criterio no solo se aplica a las ecuaciones lineales que se resuelven con el método de Gauss-Seidel sino también para el método iterativo del punto fijo y el método de jacobi. Por tanto, al aplicar este criterio sobre las ecuaciones de Gauss-Seidel y evaluando con respecto a cada una de las incógnitas, obtenemos la expresión siguiente:

El valor absoluto de las pendientes en la ecuación, deben ser menor que la unidad para asegurar la convergencia.

Es decir, el elemento diagonal debe ser mayor que el elemento fuera de la diagonal para cada reglón de ecuaciones. La generalización del criterio anterior para un sistema de n ecuaciones es:

El método de Gauss-Seidel está basado en el concepto de punto fijo, es decir ( xi = gi (x), i = 1.. n), para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Para garantizar la convergencia se debe de cumplir que el sistema tenga una diagonal dominante, es decir que se cumpla la desigualdad siguiente, si se cambió el orden de las ecuaciones esta puede divergir.

Gauss seidel con relajación

El metodo de Gauss-Seidel con relajación, es básicamente igual al método Gauss-Seidel simple, con la diferencia de que esta diseñado para mejorar la convergencia por medio de un promedio ponderado de los resultados de la aproximación anterior y actual, el cual esta dado por la siguiente relación:

Donde  es un factor ponderado comprendido entre 0 y 2.

Si =1 el resultado no es modificado, por lo tanto la ecuación se transforma en la ecuación para resolver por el método Gauss-Siedel de manera convencional.

Para valores de  < 1 el método es conocido como sub-relajación, es utilizado para hacer que un sistema no convergente converja o apresure la convergencia al amortiguar las oscilaciones.

Para valores de  > 1 al método se le llama sobre-relajación, el cual se utiliza para que la convergencia se mueve en la dirección correcta hacia la solución verdadera, pero con una velocidad demasiado lenta. Por lo tanto se pretende que con la ponderación mejore la aproximación al llevarla más cerca de la verdadera.

La elección de un valor de  adecuado es de forma empírica, por lo general este método no se utiliza para la solución de un solo sistema de ecuaciones. Es más usual cuando un sistema en estudio se debe resolver de manera repetitiva, una buena selección de  es de vital importancia para el éxito del método.

Ejemplo

Emplee el método de Gauss-Seidel con relajación para resolver (=0.90 y a = 5%):

-5 X1 + 12 X3 = 80

4 X1 – 1 X2 – 1 X3 = - 2

6 X1 + 8 X2 = 45

Si es necesario reordene las ecuaciones para que el sistema converja:

Si lo pasamos al formato de una matriz y su vector de resultados, obtenemos lo siguiente:

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