Metodo De Gauss

MÉTODO DE GAUSS - Jordan

DISTRIBUCIÓN DE RECURSOS

(INGENIERÍA EN GENERAL)

Antecedentes: todos los campos de la ingeniería enfrentan situaciones en las que la distribución correcta de recursos es un problema critico. Estas situaciones se presentan al organizar inventarios de construcción, distribución de productos y recursos en la ingeniería, Aunque los problemas siguientes tienen que ver con la fabricación de productos, el análisis general tiene importancia en un amplio panorama de otros problemas.

Un ingeniero industrial supervisa la producción de cuatro tipos de computadoras. Se requieren cuatro clases de recursos- Horas-hombre, metales, plásticos y componentes electrónicos-.

En este cuadro se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de computadoras. Si se dispone diariamente de 504 horas, hombre, 1970 kg de metal, 970 kig de plástico y 601 componentes electronicos. ¿Cuántas computadoras de cada tipo se pueden construir por dia?

SOLUCION:

La cantidad total producida de cada computadora esta resringida al total de recursos disponibles en cada categoría diariamente. Estos recursos disponibles se distribuyen entre los cuatro ripos de computadoras.

3x1 + 4x2 + 7x3 + 20x4 =< 504

Y asi sucesivamente con los demas recursos.

20x1 + 25x2 + 40x3 + 50x4 =< 1970

10x1 + 15x2 + 20x3 + 22x4 =< 970

10x1 + 8x2 + 10x3 + 15x4 =< 601

Cada una de estas ecuaciones se debe satisfacer de forma simultanea de otra manera, se acabaria uno o mas de los recursos necesarios en la producción de los cuatro tipos de computadoras. Si los recursos disponebles representados por el vector de termino independiente de las ecuaciones anteriores, se reducen todos a cero simultáneamente, entonces se puede remplazar el signo menor o igual por el de igual. En este caso la cantidad total de cada tipo de computadora producida se puede calcular resolviendo un sistema de ecuaciones de 4 por 4 usando los metodos de gauss.

Aplicando la eliminación Gaussiana se tiene que:

X1=10

X2=12

X3=18

X4=15

Esta información se usa en el calculo de las ganacias totales. Por ejemplo, suponiendo las ganancias que corresponden a cada computadora estan dadas por P1, P2, P3 y P4. La ganancia total asociada con un dia de actividad esta dada por:

P = p1x1 + p2x2 + p3x3 + p4x4

Se sustituyen los resultados de X’s y se calculan las ganancias usando los coeficientes del siguiente cuadro.

COMPUTADORA GANANCIA

1 1000

2 700

3 1100

4 400

P = 1000(10)+ 700(12)+ 1100(18)+ 400(18) = 44 200

De esta forma se pueden obtener una ganancia de $44 200 diarios con los recursos especificados en el problema.

Ejercicios de aplicaciones económicas

Sistemas de ecuaciones

1.- Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro productos diferentes. Para utilizar plenamente las máquinas estas estarán en operación 8 horas diarias. El número de horas que cada máquina es usada en la producción de cada uno de los cuatro productos está dado por

Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4

Máquina 1 1 2 1 2

Máquina 2 2 0 1 1

Máquina 3 1 2 3 0

Por ejemplo, en la producción de una unidad del producto 1 la máquina 1 se usa 1 hora, la máquina 2 se usa 2 horas y la máquina 3 se usa 1 hora. Encuentre el número de unidades que se deben producir de cada uno de los 4 productos un día de 8 horas completas.

Solución: Sea xi el número de unidades que se deben producir del producto i que se fabrican durante las 8 horas con i = 1, 2, 3 y 4.

1x1: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 1.

2x2: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 2.

1x3: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 3.

2x4: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 4.

Como la máquina 1 debe ser usada 8 horas diarias, entonces tenemos que

procediendo de forma similar para las máquinas 2 y 3 obtenemos el sistemas de ecuaciones lineales siguiente

Aplicando eliminación de Gauss-Jordan llegamos al sistema equivalente

De donde,

Cada xi es no negativa por representar la cantidad de unidades fabricadas del producto i cada día, por lo tanto xi < 0 no tiene sentido.

Si asumimos que se produce un número completo de unidades, entonces xi debe ser además un número entero para que todos los xi , sean no negativos x4 debe ser un entero menor o igual que 2, y por lo tanto las posibles soluciones son

x1 x2 x3 x4

Solución 1 4 2 0 0

Solución 2 3 1 1 1

Solución 3 2 0 2 2

Por ejemplo la solución 1 significa que en un día para las máquinas estar completamente utilizadas se deben producir 4 unidades del producto 1, 2 del producto 2 y ninguna de los productos 3 y 4.

Para resolver un problema que involucra sistemas de ecuaciones lineales se debe tener en cuenta lo siguiente:

1. Entender el problema.

2. Determinar los datos conocidos.

3. Nombrar adecuadamente las incógnitas de acuerdo a lo que se pida.

4. Establecer las relaciones existentes entre los datos conocidos y las incógnitas.

5. Determinar el sistema de ecuaciones lineales asociado a las relaciones en 4.

6. Resolver el sistema de ecuaciones lineales resultante en 5.

7. Verificar que las respuestas obtenidas si estén de acuerdo al problema.

8. Interpretar el resultado si es posible.

2.-

Análisis de flujo de tráfico.

Supongamos que tenemos una red de

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