Minimos Cuadrados

Integrales

∫▒〖lnx dx〗

Solución:

Método de integración por partes

Identificamos variables e integramos por partes

u=lnx dv=dx

du=1/x dx v=x

∫▒〖udv=uv-∫▒vdu〗

∫▒〖lnx dx=lnx(x)-∫▒x(1/x dx) 〗

∫▒〖lnx dx=xln(x)-x/x ∫▒dx〗

∫▒〖lnx dx=xln(x)-∫▒dx〗

∫▒〖lnx dx=xln(x)-x+C〗

∫▒〖lnx dx=x(ln(x)-1)+C〗

∫▒〖(sen x)/(〖cos〗^2 x) dx〗

Solución:

〖cos〗^2 x=cos⁡〖x cos⁡x 〗

=∫▒〖(sen x)/cos⁡〖x cos⁡x 〗 dx=∫▒〖(sen x)/cos⁡x 1/cos⁡x dx〗〗

Como tan⁡〖x=(sen x)/cos⁡x ;sec⁡〖x=1/cos⁡x ,〗 〗 tenemos:

=∫▒tan⁡〖x sex x dx〗

Integramos:

=sec⁡〖x+C〗

∫▒〖(3x+1)/(x^2+5x+6) dx〗

Solución:

Método de integración por fracciones parciales.

Factorizamos el denominador:

(3x+1)/(x^2+5x+6)=A/((x+2))+B/((x+3))=(A(x+3)+B(x+2))/((x+2)(x+3))

Calculamos los valores de las constantes A y B

A+B=3

3A+2B=1

■(-2A&-2B&■(=&-6)@3A&+2B&■(=&1))/■(A& =& -5)

■(-3A&-3B&■(=&-9)@3A&+2B&■(=&1))/( ■(B&=& 8))

Sustituimos los valores de A y B

(-5)/((x+2))+8/((x+3))

Integramos:

∫▒〖(3x+1)/(x^2+5x+6) dx〗=∫▒〖(-5)/((x+2))+8/((x+3)) dx=-5∫▒〖dx/((x+2))+8∫▒〖dx/((x+3))=-5 ln⁡〖(x+2)+8 ln⁡〖(x+3)+C〗 〗 〗〗〗

∫▒x^2/√(x^2+4) dx

Observamos que el integrando incluye una expresión de la forma √(x^2+a^2 ) = atanθ por lo tanto utilizamos el método de integración por sustitución trigonométrica.

a2=4

a=2

x=a tanθ

x= 2 tanθ

x2 =4 tan 2 θ

dx =2 sec2 θ dθ

Sustituimos y factorizamos

√(x^2+4)=√(〖4tan〗^2 θ+4)=√(〖4(tan〗^2 θ+1))

Como tan2θ+1=sec2θ

=√(〖4sec〗^2 θ)=2secθ

Sustituyendo en el integrando

∫▒x^2/√(x^2+4) dx=∫▒〖(〖4tan〗^2 θ〖2sec〗^2 θ)/2secθ dθ=∫▒〖4〖tan〗^2 θsecθdθ〗 〗

Como tan2θ=sec2θ-1

=4∫▒〖(〖sec〗^2 θ-1)secθdθ=4∫▒〖〖sec〗^2 θ dθ-4∫▒secθdθ〗〗

-4∫▒secθdθ=-4[ln⁡(secθ+tanθ) ]

Resolvemos la integral por partes

4∫▒〖〖sec〗^3 θdθ〗=4∫▒secθ 〖sec〗^2 θ dθ

u= sec θ dv=sec2θ dθ

du= secθtanθ dθ v=tanθ

Sustituimos en la fórmula ∫▒〖udv=uv-∫▒vdu〗

∫▒secθ 〖sec〗^2 θ dθ=secθtanθ-∫▒〖tanθsecθtanθ dθ=secθtanθ-∫▒〖〖tan〗^2 θsecθ dθ〗〗

Como tan2θ = sec2 θ-1:

=secθtanθ-∫▒〖(〖sec〗^2 θ-1)secθdθ=secθtanθ-∫▒〖〖sec〗^3 θdθ+∫▒〖secθ dθ〗〗〗

Sumando ∫▒〖〖sec〗^3 θdθ〗 en ambos miembros de la igualdad

∫▒〖〖sec〗^3 θdθ〗+∫▒〖〖sec〗^3 θdθ〗=secθtanθ-∫▒〖〖sec〗^3 θdθ+∫▒〖secθ dθ〗〗+∫▒〖〖sec〗^3 θdθ〗

2∫▒〖〖sec〗^3 θdθ=secθtanθ+∫▒〖secθ dθ〗〗

∫▒〖〖sec〗^3 θdθ=1/2〗 secθtanθ+1/2 ∫▒secθdθ

Integramos y multiplicamos por 4

=4[1/2 secθtanθ+1/2 ln⁡(secθ+tanθ) ]=2secθtanθ+2ln⁡〖(secθ+tanθ)+C〗

Al integrar nuestra ecuación original obtenemos:

∫▒x^2/√(x^2+4) dx

=2secθtanθ+2ln⁡(secθ+tanθ)-4[ln⁡(secθ+tanθ) ]+C=2secθtanθ-2 ln⁡(secθ+tanθ)+C

Calculamos el valor algebraico de 2secθtanθ-2 ln⁡(secθ+tanθ)+C en la función de la variable x original.

x=2tanθ

tanθ=x/2

h^2=x^2+2^2

h=√(x^2+2^2 )

secθ=√(x^2+4)/2

Por lo tanto:

∫▒x^2/√(x^2+4) dx=2√(x^2+4)/2 (x/2)-2ln(√(x^2+4)/2+x/2)=(x√(x^2+4))/2-2 ln⁡〖(√(x^2+4)+x)/2〗+C

f(x)=(x+5)^2 x(x-2)

a) Grafica de la función

b) Hallar la 1° derivada

c) Graficar la 1° derivada

d) Hallar la 2° derivada y su gráfica

e) Encontrar máximos y mínimos

(x+5)^2 (x^2-2x)

b) Derivamos con la siguiente fórmula:

u dv/dx+v du/dx

(x+5)^2 (d(x^2-2x))/dx+ (x^2-2x) (d(x+5)^2)/dx

(x+5)^2 (2x-2)+(x^2-2x)(2(x+5))(d(x+5))/dx

y=(x+5)^2 (2x-2)+(x^2-2x)(2(x+5) )

y'=4x³+24x²+10x-50

4x³+24x²+10x-50=0

2x(2x^2+12x+5)-50=0

c) Gráfica de la primera derivada.

Aplicamos la fórmula de la ecuación general para obtener los puntos críticos:

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

x=(-12±√(〖(12)〗^2-4(2)(5)))/(2(2))

x=(-12±√104)/4

x_1=-5.55

...