PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

OBJETIVO

 Estar al tanto la definición de variable aleatoria continua y como se aplica su resolución en algunos ejemplos.

 Aplicar los conceptos básicos de probabilidad que son valor esperado, varianza y desviación estándar.

 Definición de notación de distribución exponencial

 Definición y notación de la distribución normal con su entorno de la binomial a la normal.

INTRODUCCION

La probabilidad es una herramienta de ayuda para la toma de decisiones porque proporciona una forma de medir, expresar y analizar las incertidumbres asociadas con eventos futuros de razones entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

Por ello de valor fundamental que se conozcan en este apartado los temas más laboriosos de la unidad para tener un mayor conocimiento y así poder aplicarlos a la vida diaria y los problemas en una empresa en la cual nos desempeñemos como profesionales.

DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Una variable aleatoria X es continua si su función de distribución es una función continua.

En la práctica, se corresponden con variables asociadas con experimentos en los cuales la variable medida puede tomar cualquier valor en un intervalo: mediciones biométricas, intervalos de tiempo, áreas, etc.

Ejemplos

Resultado de un generador de números aleatorios entre 0 y 1. Es el ejemplo más sencillo que podemos considerar, es un caso particular de una familia de variables aleatorias que tienen una distribución uniforme en un intervalo [a, b]. Se corresponde con la elección al azar de cualquier valor entre a y b.

Estatura de una persona elegida al azar en una población. El valor que se obtenga será una medición en cualquier unidad de longitud (m, cm, etc.) dentro de unos límites condicionados por la naturaleza de la variable. El resultado es impredecible con antelación, pero existen intervalos de valores más probables que otros debido a la distribución de alturas en la población. Más adelante veremos que, generalmente, variables biométricas como la altura se adaptan un modelo de distribución denominado distribución Normal y representado por una campana de Gauss.

Dentro de las variables aleatorias continuas tenemos las variables aleatorias absolutamente continuas.

Diremos que una variable aleatoria X continua tiene una distribución absolutamente continua si existe una función real f, positiva e integrable en el conjunto de números reales, tal que la función de distribución F de X se puede expresar como

Una variable aleatoria con distribución absolutamente continua, por extensión, se clasifica como variable aleatoria absolutamente continua.

En el presente manual, todas las variables aleatorias continuas con las que trabajemos pertenecen al grupo de las variables absolutamente continuas, en particular, los ejemplos y casos expuestos.

EJEMPLOS

Ej1. Sea X una variable aleatoria continua que tiene la siguiente función de densidad:

Hallar:

a) El valor de c para que f(x) sea una función de densidad.

b) Obtener la función de distribución.

c) Calcular: P(1 ≤ X ≤ 2).

d) Calcular la esperanza y la varianza de X.

e) Si X es la cantidad diaria vendida de un producto y la ganancia del vendedor es 5 unidades monetarias por cada unidad de producto vendida si X ≤ 1, y 8 unidades monetarias si X > 1, encontrar la ganancia esperada del vendedor para cualquier día especificado.

Apartado a)

Empleamos la expresión de función de densidad de probabilidad:

Para los intervalos expuestos en el enunciado del problema, en este caso:

Para que una variable aleatoria continua posea una función de densidad de probabilidad, tienen que cumplirse las siguientes condiciones:

1. f(x) > 0,...para todo x.

2.

La función f(x) es mayor que cero, por lo que nos queda, satisfacer la primera condición:

(8/3)·c = 1

Y así, obtenemos el valor de c y la solución del problema, para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad, el valor de c es de 3/8.

Por lo tanto, la función de densidad de la variable aleatoria continua X queda:

Apartado b)

Empleamos la expresión de función de distribución acumulada:

En nuestro caso, el intervalo que tenemos que realizar cálculos es 0 ≤ t ≤ x:

Ya que si x < .0, la función de distribución es 0, y si x > 2, la función de distribución es 1, por lo tanto, la función de distribución acumulada queda tal y como se muestra a continuación:

Apartado c)

Para calcular dicha probabilidad, empleamos la función de distribución acumulada tal y como se muestra a continuación:

P(1 ≤ X ≤ 2) = F(2) - F(1) = 2³/8 - 1³/8 = 7/8

Apartado d)

En este apartado, debemos calcular la esperanza y la varianza de la variable aleatoria continua, X.

Para el cálculo de la esperanza, empleamos la siguiente expresión:

Por lo tanto, la esperanza de X, será:

Y para la varianza, se empleará la siguiente expresión:

Var(X) = E(X²) - [E(X)]²

Por lo tanto:

Apartado e)

Para este último apartado, nos dan otra función de la misma variable aleatoria continua X, tal que:

Nos piden la ganancia esperada del vendedor, para obtenerla, usamos la siguiente expresión:

Por lo tanto:

EJEMPLO 2

Ej3. Sea X una variable aleatoria continua que mide el avance entre dos automóviles consecutivos elegidos al azar en segundos, su función de distribución del tiempo de avance presenta la forma:

Hallar:

a) Determinar el valor de k para que f(x) sea una función de densidad legítima.

b) Obtener la función de distribución acumulada.

c) Calcular: P(X > 2) y P(2 < . X < .

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