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MATRIZ INVERSAL

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que: A ⋅ A − 1 = A − 1 ⋅ A = I n {\displaystyle A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_{n}} , donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es nulo. La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Matriz involutiva

En matemáticas, una matriz involutiva es una matriz cuadrada (tiene igual número de filas que de columnas) que es su propia inversa. Es decir, la multiplicación por la matriz A es una involución si y sólo si A² = I. Esto es simplemente una consecuencia del hecho de que cualquier matriz no singular multiplicada por su inversa es la identidad.

MATRIZ SINGULAR

a, una matriz cuadrada es singular si su determinante es igual a cero.

Basta calcular el determinante para saber si es singular.

EJEMPLO. Determinar si las matrices A y B son singulares.

A = ( 2 -1 )

  ( 6 -3 )

  ( 1 4 -1 )

B = ( 3 0  5 )

  ( 2 2  3 )

SOLUCIÓN. Calculamos el determinante de cada matriz.

det(A) = 2·(-3) - 6·(-1) = 0 ===> A es singular

det(B) = [(0 - 6 + 40) - (0 + 10 + 36)] = -12 ===> B no es singular (es regular)

Matriz ortogonal

Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta. El conjunto de matrices ortogonales constituyen una representación lineal del grupo ortogonal O

Geométricamente las matrices ortogonales representan transformaciones isométricas en espacios vectoriales reales[1] (o más exactamente espacios de Hilbert reales) llamadas justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son isomorfismos internos del espacio vectorial en cuestión. En el caso real dichas transformaciones pueden ser rotaciones, reflexiones especulares o inversiones y son usadas extensivamente en computación gráfica. Por sus propiedades, también son usadas para el estudio de ciertos fibrados y en física se las usa en el estudio del movimiento de cuerpos rígidos y en la formulación de ciertas teorías de campos.

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