Polinomio

Polinomio:

Un polinomio es una combinación de números (llamados coeficientes) y letras (representan las variables o indeterminadas), unidas por medio de operaciones matemáticas, como suma, resta, multiplicación y división. También las operaciones de potenciación y radicación tienen lugar en los polinomios, pero éstas últimas nunca están afectando a la variable, sino a los coeficientes.

La suma y la resta de polinomios sólo pueden realizarse entre términos de igual variable y exponente, es decir, términos semejantes.

Elementos de un Polinomio:

Coeficiente de un polinomio

Dado el siguiente polinomios;

5y4 - 2y3 + y2 - 7y + 8, donde 5, 2, 1, 8 son números racionales, y se denominan coeficientes del polinomio.

Función de un polinomio:

Cada uno de los sumandos de él polinomio p(x) = con sus respectivas variables se denominan función de polinomio.

Términos de un polinomio:

Es una expresión que está formada por un coeficiente y una variable, y está separado por los signos de suma o resta.

Ejemplo: 3x, -2x2, 4

Grado de un polinomio:

Es el mayor exponente con el que aparece la variable, ( x, y, z...) con coeficiente no nulo.

Ejemplo:

x2 + 2x - 8

Es decir que los grados del polinomio son: 2, 1, 0

Términos semejantes de un polinomio:

Dos términos de un polinomio se dicen semejantes si tiene la misma variable y el mismo grado.

Ejemplo:

6a2b es semejante con -8 a2b porque tienen la misma variable y el mismo grado.

OPERACIONES CON POLINOMIOS:

Suma de polinomios:

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1. Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)

2. Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

3. Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3

Resta de polinomios:

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x2 + x – 3

Multiplicación de polinomios:

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 • (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x2 • (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) • Q(x) = (2x2 − 3) • (2x3 − 3x2 + 4x) =

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Ejemplo: P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

P(x) • Q(x) = (2x2 − 3) • (2x3 − 3x2 + 4x) =

4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

División de polinomios:

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes.

5x3 : x2 = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x2 = 8

División por Ruffini:

Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini.

Resolver por la regla de Ruffini la división:

(x4 −3x2 +2) : (x −3)

Paso 1.- Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

Paso 2.- Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

Paso 3.- Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.

Paso 4.- Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

6Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8El último número obtenido, 56 , es el resto.

9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x3 + 3 x2 + 6x +18

Ejercicios de División por Ruffini:

1.- (x3 + 2x +70) : (x+4)

2.- (x5 − 32) : (x − 2)

C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 R= 0

3.- (x4 −3x2 +2 ) : (x −3)

C(x) = x3 + 3 x2 + 6x +18 R= 56

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS:

Para factorizar polinomios hay varios métodos:

1. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:

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