Polinomios De Interpolación

POLINOMIOS DE INTERPOLACION: DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON

Por el método de diferencias divididas demostrar la función: y=x^3-2x^2-2;

Puntos 0 1 2 3 4 5

X -2 -1 0 2 3 6

F(x) -18 -5 -2 -2 7 142

En un problema de diferencias divididas, solo se dan los valores de la tabla de la parte superior, y nosotros mediante el procedimiento, debemos llegar a la función que se planteó al inicio.

-2 -18

-1 -5 13

0 -2 3 -5

2 -2 0 -1 1

3 7 9 3 1 0

6 142 45 9 1 0 0

1 dif. 2 dif. 3 dif. 4 dif. 5 dif. 6 dif.

La tabla de la parte superior, donde se pueden notar una serie de números, formando una figura escalonada se obtiene mediante la siguiente formula:

Nota: dependiendo los datos será el grado del polinomio, y también depende de estos datos la extensión de la formula, puesto que como se puede observar se va haciendo mas amplia la formulación.

Para poder darle mayor entendimiento a la formula vamos a sustituir unos valores en la segunda fórmula, puesto que la primera siempre serán los valores dados para f(x);

F[xi,xi+1]= f[xi+1]-f[xi]/[xi+1-xi]

Esto sería lo mismo que (utilizando los datos)

F[xi,xi+1]= -5-(-18)/-1-(-2)=13/1=13

* como podemos observar este valor es el obtenido en la segunda diferencia dividida.

Una vez obtenidos todos los valores, de nuevo empleando la fórmula anterior, podemos obtener los valores a0,a1,a2…an; los cuales ocuparemos para la siguiente formula:

a0=-18

a1=13

a2=-5

a3=1

a4=0

a5=0

Como se puede notar en la fórmula para la obtención del polinomio, entre más subíndices tenga a, mayor serán los términos [x,xi] que se van a utilizar, y dependiendo de “a” será el grado del polinomio, es decir, podemos observar que nuestra tabla de diferencias divididas dio como resultado 6 diferencias, pero nótese que las últimas dos [a1,2=0];

Por lo tanto, retomamos a a3=1, y así sabemos que nuestro polinomio será de grado “3”; si bien proseguimos a comprobar estos resultados, sustituyendo los valores “a”,x,xi en la fórmula establecida en la parte superior.

P3(x)= -18+13(x+2)-5(x+2)(x+1)+(x+2)(x+1)x

P3=x^3-2x^2-2

Puede notarse que se llegó a la función que establecimos en un principio, comprobando por el método de diferencias divididas.

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