Polinomios

Polinomio

En matemáticas, un polinomio (del griego, πολυς polys 'muchos' y νόμος nómos 'regla, prescripción, distribución', a través del latín polynomius)1 2 3 es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una relación n-aria de monomios, o una sucesión de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.

Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.

En álgebra abstracta, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en teoría de números algebraicos y geometría algebraica.

Grado de un polinomio

Artículo principal: Grado (polinomio)

Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

Ejemplos

P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).

P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.

P(x) = 3x² + 2x², polinomio de grado dos.

P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres.

Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como \scriptstyle -\infty. En particular los números son polinomios de grado cero.

Términos de un polinomio

Es una expresión que esta formada por un coeficiente y una variable, y está separados por los signos de suma o resta.

Ejemplo: 3x , -2x2, 4

Polinomios de una variable

Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como \scriptstyle\mathbb{R} o \scriptstyle\mathbb{C}, en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y n \in \mathbb{N}, entonces un polinomio, P_{}^{}, de grado n en la variable x es un objeto de la forma

P(x)_{}^{} = a_n x^n + a_{n-1} x^{n - 1}+ \cdots + a_1 x^{1} + a_0 x^{0}.

Un polinomio P(x) \in K[x] no es más que una sucesión matemática finita \left\{{a_n}\right\}_n tal que a_n \in K.

Representado como:

P(x)_{}^{}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n

el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:

P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}.

Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.

Polinomios de varias variables

Como ejemplo, de polinomios de dos variables desarrollando los binomios:

(2) \begin{cases} (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\ (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\ (x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}

Estos polinomios son mónicos, homogéneos, simétricos y sus coeficientes son coeficientes binomiales.

Para obtener la expansión de las potencias de una resta

...