Problemas: Intervalos de Confianza.

Taller (Intervalos de confianza)

LEIDY

5 de febrero de 2016

Ejemplo 8.5Suponga que tomamos una muestra de tamaño n = 1 de una  distribución uniforme definida en el intervalo [0, θ], donde θ es desconocida .Encuentre el límite  de confianza inferior de 95 % para θ.[pic 1]

Solución: Como y es uniforme en  [0, θ], así  sea  U = y /θ está  se encuentra uniformemente distribuida en [0, 1], ya que:

1[pic 2]

f (y ) =

θ

2 − θ1

, θ1 ≤ y ≤ θ2

pero ya que  y es uniforme en [0, θ] entonces θ1 = 0 y θ2 = θ, por tanto:

f y (k )    f y (k θ)θ[pic 3]

=

θ

así:

1

= θ − 0[pic 4]

θ

= 1

(1    si 0 ≤ u ≤ 1

fU (u)=

Así P (u ≤ a) = 0,95,esto es:                         Za

0

es decir, a = 0,95:

0   en otro caso.

1d u = 0,95

P (u ≤ a) = P

³ y            ´

θ ≤ 0,95

= P ¡y ≤ 0,95θ¢[pic 5][pic 6]

µ    y          ¶

= P   0,95 ≤ θ[pic 7]

con esto se obtiene que  y /0,95  es un límite inferior de confianza para θ.

Ejercicio 8.39Suponga que la variable aleatoria y tiene una distribución Gamma con parámetros α = 2 y β desconocida. En un ejercicio anterior se utilizo el método de funciones generadoras de momento para demostrar un resultado general que implica que 2y /β tiene una  distribución χ2 con 4 grados de libertad. Usando 2y /β como cantidad pivote  deduzca un intervalo de confianza de 90 % para β.[pic 8]

Solución: Ya que  U = 2y /β se distribuye χ2 , y el coeficiente de confianza es de 0.90, enton- ces dados a,b que satisfagan:[pic 9]

en este caso eligiendo

P (a ≤ U ≤ b) = 0,90

P (U ≤ a) = 0,05

Usando la inversa de χ2 se tiene a ≈ 0,71.

Ahora:

P (U ≥ b) = 0,05

Usando la inversa de χ2 se tiene b ≈ 9,487. Por tanto:

P (a ≤ U ≤ b) = 0,90

P (0,71 ≤ U ≤ 9,487) = 0,90

µ

P  0,71 ≤

2y               ¶

β ≤ 9,487[pic 10]

= 0,90

µ 0,71[pic 11]

P

2y

1

≤ β ≤[pic 12]

9,487 ¶

2y

= 0,90

µ  2y[pic 13]

P

0,71

≥ β ≥

2y   ¶

9,487[pic 14]

= 0,90

...