Problemas de Optimización CALCULO DIFERENCIAL

Problemas de Optimización

CALCULO  DIFERENCIAL

ALUMNO

INDRA VANESSA BONILLA ECHAVARRIA

MAESTRO

ROBERTO ORAMAS BUSTILLOS [pic 1]

CARRERA

ING. CIVIL

1.- De una pieza cuadrada de hojalata cuyo lado mide 64 pulgadas, se desea construir una caja abierta por arriba, del mayor volumen posible, cortando las esquinas cuadrados iguales y doblando hacia arriba la hojalata para formar caras laterales ¿Cuánto debe medir por lado el cuadrado que se recorta y cuál es el volumen máximo?

Sea “x” la longitud del cuadrado pequeño que formara vértices de las caras laterales, es decir, la profundidad de la caja, “64-2x” la longitud del cuadrado que forma la base de la caja. El volumen se determina por:

Volumen (v)=Área de la base*Altura

v=[pic 2]

Aplicando el método del criterio de la primera derivada:

v’=v’=
v’=[pic 3][pic 4][pic 5]

0=
0=(x-32)(12x-128)[pic 6]

x1=32      x2=[pic 7]

Para x=32

Un poco menor
x=31

v’=12(31)2-512(31)+4096
v’=-244

Un poco mayor
x=33

v’=12(33)2-512(33)+4096
v’=268

Mínimo

Este valor no nos interesa, ya que buscamos un máximo.

Para x=[pic 8]

Un poco menor
x=10

v’=12(10)2-512(10)+4096
v’=176

Un poco mayor
x=11

v’=12(11)2-512(11)+4096
v’=-84

Máximo

Cuando h=, tenemos un máximo cuyo valor es:[pic 10][pic 9]

v=[pic 11]

v=[pic 12]

2. Hallar la altura del cono de volumen máximo que puede inscribirse en una esfera de radio “r”.

Sea “h” la altura (AC) del cono. “r” el radio (BC) de la base del cono.

Volumen del cono=[pic 13]

Si r2 = (AC) (CD) = h (2r-h)

Sustituyendo tenemos:

v=[pic 14]

Aplicando el método del criterio de la primera derivada:

v’=[pic 15]

h=[pic 16]

Para x=[pic 17]

Un poco menor
x=r

v’=[pic 18]

v’=[pic 19]

Un poco mayor
x=[pic 20]

v’=
v’=[pic 21][pic 22]

Máximo

Cuando x=, tenemos un máximo cuyo valor es:[pic 23]

v’=(64-2())2([pic 26][pic 24][pic 25]

v’=[pic 27]

3.- En un instante determinado, un buque (M) se encuentra a 130 km al este de otro buque (N); Si M empieza a navegar hacia el oeste con una velocidad de 20 km/h, mientras que N lo hace hacia el sur con una velocidad de 30 km/h. Si las rutas iníciales no se modifican, hallar el tiempo que transcurrirá  hasta que la distancia que los separe sea mínima y calcular dicha distancia.

Sean mi y ni las posiciones de los buques en el instante inicial, mf y nf las posiciones de los buques “x” tiempo mas tarde.

...