Proceso De Wiener

Es un proceso estocástico de tipo continuo, el cual presenta las siguientes características:

Es un proceso de Markov, por tanto la única información que se necesita para obtener la mejor estimación de su valor futuro es el valor actual, por lo cual la información anterior es olvidada y se dice que el proceso no tiene memoria. Este proceso presenta una media cero y una varianza igual a uno ɸ(0,1).

Tiene incrementos independientes, es decir, la distribución de probabilidad de los cambios o variaciones en el proceso en cualquier intervalo de tiempo es independiente de la distribución de cualquier otro intervalo de tiempo.

Las variaciones en el proceso producidas en un intervalo finito de tiempo (Δt) se distribuyen normalmente, con una varianza que aumenta linealmente con el tamaño del intervalo de tiempo. Δz= √Δt, donde  es una variable aleatoria del tipo ɸ (0,1).

La primera característica implica que si los precios de las acciones son modeladas por un proceso de este tipo, cuando la información pública se incorpora en el precio, la serie histórica de precios no tiene ningún valor para predecir el comportamiento futuro (eficiencia débil del mercado)

La segunda característica implica que el proceso de Wiener sea considerado como la versión continua de la caminata aleatoria, lo cual es importante para la modelación de los rendimientos de los precios de las acciones.

La última característica implica que el proceso de Wiener no es estacionario, ya que su varianza aumenta en el tiempo tendiendo a infinito en el largo plazo.

Si Δt tiende a ser infinitamente pequeño, el incremento en el proceso de Wiener, dz, en tiempo continuo es igual a:

dz=ε_t √dt

Como ε_t tiene una media nula y una desviación típica unitaria, entonces E(dz) será igual a cero y su varianza será σ^2 (dz)=1×dt=dt. El proceso de Wiener no tiene una derivada convencional con respecto al tiempo: Δz⁄Δt=ε_t 〖(Δt)〗^((-1)⁄2), que tiende a infinito conforme Δt se aproxime a cero.

Si se trabajara con dos o más procesos de Wiener se debe tener en cuenta sus covarianzas. Por ejemplo si se tienen los procesos z1(t) y z2(t), E(dz1dz2) = ρ12dt, donde ρ12 es el coeficiente de correlación entre ambos procesos y debido a que el proceso de Wiener tiene una varianza y una desviación típica iguales a 1 por unidad de tiempo, dicho coeficiente de correlación también será el valor de la covarianza por unidad de tiempo para ambos procesos..

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