Proyectos Tesina

Necesidad:

Monitoreo de los niveles de la capacidad que tienen estanques, pipas, contenedores etc. En la industria mediante un dispositivo electrónico móvil (tableta electrónica, celular laptop) para una mayor versatilidad en cuanto a la aplicación en la industria.

Justificación:

Se realizara este proyecto para poder aplicar conocimientos adquiridos durante la carrera de Ing. En Comunicaciones y Electrónica, dar versatilidad a los procesos de control en este tipo de necesidades industriales, darle un uso distinto al de entretenimiento a algunos dispositivos electrónicos móviles (tabletas electrónicas, Smart phones, etc.)

Tiempos

Primer dia: en este dia planearemos cual es nuestro proyecto y haremos una lista del material que vamos a utilizar de este dia nos tardaremos una semana por que tendremos que investigar nuestro proyecto y para qué va a hacer útil este proyecto después de la semana tendremos que comprar el material de nuestro proyecto y para comprar nuestro material necesitamos tres días por si no encontramos material y necesitamos traerlo de otro país después de comprar nuestro material armemos nuestro proyecto y tendremos que hacerlo en dos días para que en otros dos días comprobemos si sirve o probar fallas por si las tiene poderlas cambiar

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

UNIDAD CULHUACAN

ALUMNO: HERNÁNDEZ GONZÁLEZ GERARDO

PROFESOR: LÁZARO E. CASTILLO BARRERA

ESPACIO Y ESTADO

GRUPO: 7EV4

SOLUCIONES DE ECUACIONES DE ESTADO

Solución de la ecuación homogénea, matriz de transición, solución de la ecuación forzada.

Bibliografía

Introducción

En el capítulo anterior habíamos visto para el caso contínuo que un sistema lineal variante en el tiempo puede ser descripto a través de las siguientes ecuaciones de estado:

[Ec. 1.a]

[Ec. 1.b]

Para analizar cómo evoluciona el sistema debemos resolver las ecuaciones 1.a y 1.b, pero para terminar de definir el problema no basta con dar las ecuaciones, sino que debe darse el marco para buscar la solución: esto es, debemos conocer algún estado inicial x(t0) y alguna entrada u(t) para t ≥ t0. Con esta información podemos determinar el vector de estado x(t) y el vector de salida y(t) para todo t ≥ t0.

Si se encuentra la solución x(t) para la ecuación 1.a, entonces para encontrar y(t) solo basta con reemplazar dicha solución en la ecuación 1.b conjuntamente con el valor de u(t), y por simple adición y multiplicación de matrices obtenemos la respuesta. Por lo tanto, la tarea principal consiste en resolver la ecuación 1.a.

De manera similar, en el caso discreto la tarea principal es resolver la ecuación de estado:

[Ec. 2]

en donde se conocen el estado inicial x(k0) y la entrada en función de k: u(k) para k ≥ k0.

En este capítulo nos concentraremos en la solución de las ecuaciones 1.a y 2. Primeramente veremos el caso en que la entrada u es identicamente nula y resolveremos la ecuación de estado tanto para el caso contínuo como discreto (solución homogénea). Luego proveeremos una solución completa para ambos casos.

El caso homogéneo – la matriz de transición

Cuando la entrada es identicamente nula, la ecuación de estado se convierte en:

[Ec. 3]

en el caso contínuo, y

[Ec. 4]

en el caso discreto. Las ecuaciones 3 y 4 son llamadas las ecuaciones de estado homogéneas o las ecuaciones de estado no-forzadas.

Sistemas Contínuos

Sea y asumamos que en el tiempo t0, el estado inicial es:

[Ec. 5]

Estamos interesados en encontrar x(t) para t ≥ t0 sujeto al estado inicial de la Ec. 5. La primera pregunta que surge es de la existencia de una solución, y si es que existe ¿es la única?. Se demuestra (referencias [1] y [2]) que si A(t) es una matriz de coeficientes reales y contínua a trozos, entonces la solución a la ecuación 3 siempre existe para cualquier estado inicial del que parta (Ec. 5).

Definición:

La matriz (t,t0) de dimensión nxn es llamada matriz de transición de estado, o simplemente matriz de transición de la ecuación 3 si satisface las siguientes dos condiciones:

a) , [Ec. 6]

b) [Ec. 7]

, para todo t0, y para todo t ≥ t0

Notar que desde esta definición, la solución de la ecuación 3 puede escribirse como:

[Ec. 8]

Ejemplo:

Si A(t) en la ecuación 3 es una matriz constante, entonces la matriz de transición será

Puesto que por definición de exponencial de una matriz:

esto implica que:

o sea que cumple con la condición a) de la definición de la matriz de transición, y además se cumple con la condición

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