RELACIONES REFLEXIVAS

RELACIONES REFLEXIVAS

Una relación R sobre X es reflexiva si, para cada x ∈ X, el par (x,x) está en la relación.

.R es reflexiva ≡ ∀ x (xRx)

Una relación R sobre X es no reflexiva si, para cada x ∈ X, el par (x,x) ∉ R. Es decir, no existe x ∈ X tal que xRx

• Reflexiva: xRx es verdadera para todo x

• No reflexiva: xRx es falsa para todo x (ninguna x cumple)

• Si xRx es cierta para algunas x y falsa para otras, entonces R no es ni reflexiva ni no reflexiva

• En una relación reflexiva, en su grafo todos los nodos tienen arco a si mismos. Y si ningún nodo tiene arco a sí mismo es no reflexiva.

reflexiva No reflexiva Ninguna

1 0 1 0 0 1 1 0 1

0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 0 1 1

RELACIONES SIMÉTRICAS

Una relación R sobre un conjunto X es simétrica si, para todo x e y perteneciente a X, xRy implica yRx. Por consiguiente,

R es simétrica ≡

∀ x ∀ y (xRy ⇒ yRx)

La relación = es simétrica, mientras que < no lo es

P. ejm. La relación hermano es simétrica porque si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.

• En el grafo de una relación simétrica, todos los arcos son bidireccionales

RELACIONES ANTISIMÉTRICAS

Una relación R sobre un conjunto X es anti simétrica si, para todo y ≠ x, ir excluye a xRy. En otras palabras, si se alcanzan xRy e yRx, entonces x = y. Por consiguiente

R es antisimétrica ≡

∀ x ∀ y (xRy & yRx ⇒ y=x)

Simétrica antisimetrica Ninguna

1 0 1 0 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 1 1 1

P. ejem. La relación ”madre de” es antisimétrica porque si x es madre de y, excluye a y es madre de x.

•En el grafo de una relación antisimétrica, ningún arco tiene un compañero en dirección opuesta

RELACIONES TRANSITIVAS

Una relación R sobre un conjunto X es transitiva si, para todo x, y, z en X, siempre que xRy e yRz, entonces xRz. Estos es:

R es transitiva ≡

∀ x ∀ y∀ z (xRy & yRz ⇒ xRz)

• Una relación es transitiva si y sólo si todos los pares de objetos que pueden ser alcanzados a través de un intermediario pueden también ser alcanzados directamente.

P. ejem. La relación < es transitiva

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