Rentas

Introducción

Renta es una sucesión de cobros o pagos periódicos, que tienen el carácter de rendimiento de un capital (como la rentabilidad o alquiler de un inmueble, las amortizaciones de un préstamo, las aportaciones a un plan de pensiones, etc.); en matemática financiera, el concepto es muy amplio y corresponde a un conjunto de prestaciones (monetarias) con vencimientos diversos. A cada una de las prestaciones se le llama plazo o término de la renta, y llamaremos período al espacio de tiempo (generalmente un año) que hay entre dos prestaciones consecutivas.

En cuanto al origen y duración de la renta, tienen un significado claro cuando la renta es continua o periódica; origen es entonces la fecha de comienzo de las prestaciones y duración es el intervalo entre el principio y el final de las prestaciones.

En relación con el objeto de las rentas, éste está íntimamente ligado al de su valoración, se trata pues de encontrar un valor de la renta en un momento determinado del tiempo.

De esta forma se puede determinar, el valor final en un momento cualquiera no anterior al vencimiento del último término, el valor actual en cualquier momento no posterior al vencimiento del primer término y eventualmente el valor en un momento intermedio entre el primer y último vencimiento.

El cálculo del valor final requiere fijar una ley de interés, habitualmente, al tratarse de operaciones a más de un año, ésta será la del interés compuesto; el cálculo del valor actual requiere utilizar una ley de descuento, normalmente aplicaremos la del descuento racional compuesto; por último el cálculo del valor en un momento intermedio requiere precisar ambas leyes y emplearemos la del interés y el descuento racional compuesto.

Además, deberán cumplir las siguientes condiciones: los términos de la renta han de ser iguales, y si son variables la variación ha de ser conocida; los períodos de vencimiento de los términos, han de ser equidistantes, es decir, han de tener el mismo vencimiento, anual, mensual.

Rentas

La renta se define como un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes de tiempo.

Para que exista renta se tienen que dar los dos siguientes requisitos:

• Existencia de varios capitales, al menos dos.

• Periodicidad constante, entre los capitales, es decir, entre dos capitales consecutivos debe existir siempre el mismo espacio de tiempo (cualquiera que sea).

Elementos

• Fuente de la renta: fenómeno económico que da origen al nacimiento de la renta.

• Origen: momento en el que comienza a devengarse el primer capital.

• Final: momento en el que termina de devengarse el último capital.

• Duración: tiempo que transcurre desde el origen hasta el final de la renta.

• Término: cada uno de los capitales que componen la renta.

• Período: intervalo de tiempo entre dos capitales consecutivos.

• Tanto de interés: tasa empleada para mover los capitales de la renta.

Valor financiero de una renta en el momento t (Vt)

Es el resultado de llevar financieramente (capitalizando o descontando) todos los términos de la renta a dicho momento de tiempo t.

Casos particulares

Si t = 0 (siendo 0 el origen de la renta) nos encontramos con el valor actual, esto es, resultado de valorar todos los términos de la renta en el momento cero.

Si t = n (siendo n el final de la renta) se define como el valor final, resultado de desplazar todos los términos de la renta al momento n.

Clases

Según la cuantía de los términos

• Constante: cuando todos los capitales son iguales.

• Variable: cuando al menos uno de los capitales es diferente al resto, pudiéndose distinguir:

-Variables sin seguir una ley matemática, cuando varían aleatoriamente.

- Variables siguiendo una ley matemática, cuando lo hacen con un orden.

-En progresión geométrica.

- En progresión aritmética.

Según el número de términos

• Temporal: tienen un número finito y conocido de capitales.

• Perpetua: tienen un número infinito o demasiado grande de capitales.

Según el vencimiento del término

• Pos pagable: los capitales se encuentran al final de cada período de tiempo.

• Prepagable: los capitales se sitúan a principio de cada período.

Según el momento de valoración

• Inmediata: valoramos la renta en su origen o en su final.

• Diferida: cuando se valora la renta en un momento anterior a su origen.

• Anticipada: el valor de la renta se calcula con posterioridad al final.

Según la periodicidad del vencimiento

• Entera: el término de la renta viene expresado en la misma unidad de tiempo que el tanto de valoración, cualquiera que sea la unidad tomada.

• No entera: el término de la renta viene expresado en una unidad de tiempo distinta a la del tanto de valoración.

• Fraccionada: el término de la renta se expresa en una unidad de tiempo menor que aquella en la que viene expresada el tipo de valoración de la renta.

Según la ley financiera

• Simple: emplea una ley financiera a interés simple, para desplazar los capitales.

• Compuesta: la ley financiera empleada es la de capitalización compuesta.

Para el correcto empleo de las fórmulas financieras de las rentas, será necesario clasificar las rentas atendiendo a cada uno de estos criterios y, en función de la combinación que presente habrá que aplicar una u otra, según proceda.

A las diferentes rentas que estudiemos a continuación se les va a hallar el valor actual y final y para ello bastará con recordar la fórmula matemática que permite sumar una serie de términos que varían en progresión geométrica, creciente o decreciente. Estas expresiones son las siguientes:

a1 - an x r

S = ------------------

1 - r

Fórmula de la suma de n términos en progresión decreciente,

an x r - a1

S = -----------------

r - 1

Para el caso de la suma de n términos en progresión creciente, donde a1 es el primer término de la progresión, es el último término y r es la razón que siguen los términos.

Rentas constantes

Las rentas de cuantía constante pueden, a su vez, subdividirse en unitarias o no unitarias, pospagables y prepagables, temporales o perpetuas, inmediatas, diferidas o anticipadas, enteras y fraccionadas. Iremos analizando cada uno de estos supuestos.

Rentas prepagables

Vamos a estudiar una renta constante (términos de igual cuantía),

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