Resuelva el problema de valor inicial

A. Resuelva el problema de valor inicial

〖2x^2 y〗^''+3xy^'-y=0 Si y(1)=2,y^' (1)=1

2m^2+3m-1=0

m=(-b±√(b^2-4ac))/2a

m=(-3±√(9-4(2)(-1)))/(2(2))

m=(-3±√17)/4

m_1=(-3-√17)/4≅-1,78 m_2=(-3+√17)/4≅0,28

y=C_1 e^(-1,78x)+C_2 e^(0,28x)

y^'=〖-1,78C〗_1 e^(-1,78x)+0,28C_2 e^(0,28x)

Resolviendo el valor inicial:

y(1)=C_1 e^(-1,78(1))+C_2 e^(0,28(1))=2

y^' (1)=〖-1,78C〗_1 e^(-1,78(1) )+0,28C_2 e^(0,28(1) )=1

y(1)=〖0,1686 C〗_1+〖1,3231C〗_2=2

y^' (1)=-0,3001C_1+0,3704C_2=1

〖0,1686 C〗_1+〖1,3231C〗_2-2=-0,3001C_1+0,3704C_2-1

0,4687C_1=1-0,9527C_2

C_1=2,1335-2,0326C_2

0,1686(2,1335-2,0326C_2)+〖1,3231C〗_2=2

0,3597-0,3427C_2+〖1,3231C〗_2=2

〖0,9804C〗_2=1,6403

C_2=1,6730

C_1=-1,2672

La solución es:

y=-1,2672e^(-1,78x)+1,6730e^(0,28x)

B. Determine el wronskiano de los siguientes pares de funciones:

Y_1=1 Y_2=Logx

w (1, log x) = |■(1&logx@0&1/(x ln10))|=1/(x ln10)-0= 1/(x ln10)

Y_1=e^ax Y_2=〖xe〗^ax

〖Y'〗_1=ae^ax 〖Y'〗_2=e^ax+axe^ax

w(e^ax,xe^ax)=|■(e^ax&xe^ax@ae^ax&e^ax+axe^ax )| = e^2ax+axe^2ax-axe^2ax=e^2ax

Y_1=e^(-x) Y_2=e^2x

〖Y'〗_1=〖-e〗^(-x) 〖Y'〗_2=〖2e〗^2x

w(e^(-x),e^2x)=|■(e^(-x)&e^2x@〖-e〗^(-x)&〖2e〗^2x )|=〖2e〗^(-x) e^2x+e^(-x) e^2x=〖2e〗^x+e^x=〖3e〗^x

C. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes constantes.

4y^''-8y^'+7y=0

Ecuación característica:

〖4m〗^2-8m+7=0

m=(-b±√(b^2-4ac))/2a

m=(8±√(64-112))/8

m=(8±√(-48))/8

m=(8±j√48)/8

m_1=(8-j√48)/8 m_2=(8+j√48)/8

(m-1+(j√3)/2)(m-1-(j√3)/2)=0

y=C_1 e^αx cos(βx)+C_2 e^αx sen(βx)

y=C_1 e^x cos(√3/2 x)+C_2 e^x sen(√3/2 x)

y^''+2y^'+3y=0

Ecuación característica:

m=(-2±√(4-12))/2=(-2±j√8)/2

m=-1±j√2

(m+1+j√2)(m+1-j√2)=0

y=C_1 e^αx cos(βx)+C_2 e^αx sen(βx)

y=C_1 e^(-x) cos(√2x)+C_2 e^(-x) sen(√2x)

y^''-〖9y〗^'+20y=0

Ecuación característica:

m^2-9m+20=0

(m-5) (m-4)=0

m_1=5 m_2=4

y=C_1 e^(m_1 x)+C_2 e^(m_2 x)

y=C_1 e^5x+C_2 e^4x

D.

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