Se Necesita Una Vida

ORIGEN DE LOS NUMEROS REALES ¶

N¶umeros Racionales:

En este trabajo, m¶as que los m¶etodos usados en la construcci¶on del campo de los

n¶umeros racionales nos interesan sus propiedades, las cuales son conocidas desde la

ense~nanza primaria; pero las fundamentales ser¶an enumeradas aqu¶³ para nuestros

objetivos y se resumen en que Q es un cuerpo ordenado arquimedeano.

Propiedades de los n¶umeros racionales:

Propiedad 1-Existencia de un orden:

Para cualquier n¶umero x y y se cumple una y solo una de las siguientes relaciones:

-x < y

-x > y

-x = y

Propiedad 2-Transitividad:

Si x > y y y > z, entonces x > z. Adem¶as, si x = y y y = z, entonces x = z

Propiedad 3-Existencia de una suma:

Para todo x y y est¶a de¯nido de modo ¶unico; el n¶umero representado por x + y

Esta operaci¶on posee las propiedades siguientes para todo x, y y z

Propiedad 4-Conmutatividad:

x + y = y + x

Propiedad 5-Asociatividad:

(x + y) + z = x + (y + z)

Propiedad 6-Existencia y unicidad del elemento nulo:

x + 0 = x para todo x

Propiedad 7-Existencia y unicidad del opuesto:

Para todo x existe un ¶unico n¶umero, que ser¶a ¡x, tal que x + (¡x) = 0

Propiedad 8-Existencia de la multiplicaci¶on:

Existe una regla por medio de la cual x y y se le hace corresponder un n¶umero z,

que ser¶a z = xy

Esta operaci¶on posee las siguientes propiedades para todo x, y y z

Propiedad 9-Conmutatividad:

xy = yx

Propiedad 10-Asociatividad:

(xy)z = x(yz)

Propiedad 11-Existencia y Unicidad del elemento unidad:

Existe un n¶umero 1 tal que: 1x = x

Propiedad 12-Existencia y Unicidad del rec¶³proco:

Para todo x 6= 0 existe un n¶umero que ser¶a 1=x tal que, x1=x = 1

...