Semana 11.- Del 23 al 27 de marzo del 2018 Apuntes Derivada

Semana 11.- Del 23 al 27 de marzo del 2018 Apuntes

Derivada de orden superior

Si f: ℝ->ℝ

f(x)=y

Ejemplos: calculé y', y'', y''' si:

i) y=1/x

y'=(-1)x-²

y''=(-1)(-2)x-³

y'''=(-1)(-2)(-3)x-⁴

ii) y=Sen(x)

y''=dy/dx=d/dx Sen(x)=Cos(x)

y"=d/dx Cos(x)= -sen(x)

y'''=d/dx -sen (x)=-cos (x)

iii) y=e^∆x

y'= d/dx e^∆x=∆e^∆x

y"= d/dx∆e^∆x=∆ d/dx e^∆x=∆²e^∆x

y"'= d/dx∆²e^∆x=∆³e^∆x

iv) y=x^n

y'=d/dx x^n=nx^n-1

y"=n(n-1)x^n-2

y"'=n(n-1)(n-2)x^n-3

Derivación implícita:

Definición:

Las funciones que hemos visto hasta ahora han sudo funciones definidas expresando la variable dependiente explícitamente en función

 De la variable independiente, es decir, y=f(x).

Lo que haremos ahora es considerar relaciones entre dos variables en las cuales la variable y (dependiente) no viene dada de manera explícita en función de la variable independiente.

Por ejemplo:

1. [pic 4]
2. [pic 5]

Las ecuaciones anteriores definen implícitamente a y en función de x. Para la derivada de manera implícita lo que haremos lo siguiente:

Considerar a y que depende de x & utilizar las reglas de derivación para posteriormente despejar a y´.

Por ejemplo:

1. [pic 6]

 [pic 7]

 [pic 8]

 [pic 9]

 [pic 10]

1. [pic 11]

 [pic 12]

 [pic 13]

 [pic 14]

 [pic 15]

 [pic 16]

 [pic 17]

Ejercicios

1.- Hallar un ecuación para la recta tangente a la curva:

x³+y³=1+3xy² en el punto (2,-1)

Solución:

Aquí primero se verifica si el punto está en la curva

2³+(-1)³=1+3(2)(-1)=  7=7

 [pic 18]

 [pic 19]

 [pic 20]

 [pic 21]

 [pic 22]

 [pic 23]

 [pic 24]

2.- [pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

...