Series De Fourer

SERIES DE FOURIER

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).

SERIES TRIGONOMETRICAS Y FUNCIONES PERIODICAS

Las series trigonométricas son de la forma:

a0 + a1 cos x + b1 sen x + a2 cos 2x + b2 sen 2x + … + an con nx + bn sen nx + …

Donde ai, bi, I = 1,2,…, n son constantes reales llamados coeficientes generalmente, estas series son periódicas con periodo 2π; aunque puede extenderse la teoría para cualquier periodo arbitrario.

Recordemos la definición función periódica

DEFINICIÓN

Función periódica. Sea f (t) definida para toda t > 0 y T > 0, f es periódica con T

f (t + T) = ft (t)

TEOREMA 1:

Sean f(x) y g(x) funciones periódicas con periodo T. h(x)=af(x)+bg(x), a,bϵR también es periódica con periodo T.

Demostración:

Como f(x) es periódica con periodo T f(x +T) = F(x)

Como g(x) es periódica con periodo T g(x +T) = g(x)

h(x +T) = af (x + T) + bg (x + T)

= af (x) +bg (x)

= h (x)

TEOREMA 2

Si T es periodo de f(x)

nT, n entero, también es periodo.

Demostración:

Si T es periodo de f(x)

f(x + T) = f (x), pero f(x +2T) = f(x + T) por que f es periódica con periodo T, entonces tenemos:

f(x) = f (x + T) = f(x + 2T) = f(x + 3T) = … = f(x + nT)

Para n = 0, ± 1,±2,±3, ±4,…y x ϵ R

OBTENCIÓN DEL MÍNIMO PERIODO

La función sen x tiene periodos 2π, 4π, 6π,…, ya que sen (x + 2π) = sen (x + 4π) = sen (x + 6π) =… = sen x. sin embargo, el menor de todos ellos es 2π.

En general, el minimo periodo ocurrirá cuando:

T = periodo natural de la función

n

Donde n es el coeficiente del ángulo.

Ejemplo:

Obtener el mínimo periodo de f(x) = cos 2x

Cuando el periodo de la función coseno es 2π

T = 2π = π

2

T = π, para f(x) = cos 2x

TEOREMA 3

Las funciones cos nπx y sen nπx , n =1, 2, 3,…, k > 0 satisfacen las siguientes

k k

Propiedades de ortogonalidad en el intervalo -k≤ x ≥k.

∫ cos nπx cos mπx dx 0 si n ≠ m

K k k si n =m

∫ sen nπx sen mπx dx 0 si n ≠ m

K k k si n =m

∫cos nπx sen mπx dx = 0, 0, para todas n, m.

K k

CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER

TEOREMA 4

Sea f una función periódica, con periodo 2π y sean f(x) y f´(x) seccionalmente continuas en el intervalo (- π, π).

Entonces la serie de Fourier converge a:

f(x) si x es un punto de continuidad.

½ (lim f(x) + lim f(x)) si x es un punto de discontinuidad.

TEOREMA 5

La suma de funciones pares es una función par.

La suma de funciones impares es una función impar.

TEOREMA 6:

f(x) función par y g(x) función par

f(x) g(x) es una función par

DEMOSTRACIÓN

Sea: h(x) = f(x) g(x)

Tomemos: h(-x) = f(-x) g(-x)

=f(x) g(x), por que ambas son pares

= h (x) h(-x) = h(x)

TEOREMA 7

f (x) función impar g (x) función impar

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