Series De Fourier

Metodo de resolución de una ecuación de vibraciones de un acuerda.

Ecuacion de Fourier.

v²((∂²u)/(∂x²))=((∂²u)/(∂t²)) (1)

Condiciones del ejercicio.

u(0,t)=0 (2)

u(l,t)=0 (3)

u(x,0)=f(x) (4)

((∂u)/(∂t))_{t=0}=ϕ(x) (5)

Buscar la solución particular de la ecuación, que satisfaga las condiciones de contorno (2 y 3) en forma de un producto de dos funciones X(x) y T(t)

u(x,t)=X(x)T(t) (6)

Reemplazando las debidas derivadas parciales tenemos

((T´´)/(v²T))=((X´´)/X)

Se iguala a una constante en nuestro caso será -λ

((T´´)/(v²T))=((X´´)/X)=-λ

De estas igualdades se obtiene dos ecuaciones

X´´+λX=0

T´´+v²λT=0

por lo tanto las soluciones generales son:

X(x)=Acos[2]√(λ)x+Bsin[2]√(λ)x

T(x)=Ccos v[2]√(λ)x+Dsin v[2]√(λ)x

Si sustituimos estas soluciones generales en (6) tenemos:

u(x,t)=(Acos[2]√(λ)x+Bsin[2]√(λ)x)(Ccos v[2]√(λ)x+Dsin v[2]√(λ)x)

Se escoge las constantes necesarias para que cumplan las

condiciones planteadas por el ejercicio.

0=Av+B(0)

0=Acos[2]√(λ)x+Bsin[2]√(λ)x

Al igualar las constantes se obtiene que :

sin[2]√(λ)x=0

De igual manera se asigna valores a λ de manera tal que siga

cumpliendo las condiciones.

[2]√(λ)=((nπ)/l) (n=1,2,3,....)

X=Bsin((nπ)/l)x

Se aprovecha la ecuación T(t) y se coloca valores a [2]√(λ)

T(t)=Ccos((vnπ)/l)t+Dsin((vnπ)/l)t (n=1,2,3,...)

Para cada valor de λ ponemos las expresiones y obtenemos la solución de la ecuación.

u_{n}(x,t)=sin((nπ)/l)x(C_{n}cos((vnπ)/l)t+D_{n}sin((vnπ)/l)t)

Para cada valor de n podemos colocar las constantes de C y D(Cn y Dn)

u(x,t)=∑_{n=1}^{∞}u_{n}(x,t)

u(x,t)=∑_{n=1}^{∞}(C_{n}cos((vnπ)/l)t+D_{n}sin((vnπ)/l)t)sin((nπ)/l)x

Para satisfacer las condiciones iniciales se debe tomar los valores correcto teniendo una ecuación de la siguiente forma

u(x,t)=∑_{n=1}^{∞}C_{n}sin((nπ)/l)x

Ya que cumple las condiciones adecuadas se la puede resolver mediante Fourier.

C_{n}=(2/l)∫₀^{l}f(x)sin((nπ)/l)xdx

Derivamos los términos de la igualdad respecto a (t) y ponemos t=0

ϕ(x)=∑_{n=1}^{∞}D_{n}((vnπ)/l)(sin((nπ)/l)x)

Se determina los coeficientes de Fourier de esta serie.

D_{n}((vnπ)/l)=(2/l)∫₀^{l}ϕ(x)sin((nπ)/l)xdx

D_{n}=(2/(anπ))∫₀^{l}ϕ(x)sin((nπ)/l)xdx

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