Serie E Fourier Aplicado A Imagenes Digitales

Índice

1.-Introducción

2.-justificación

3.-Objetivos generales y específicos

4.-Caracterización del área donde se encuentra relacionado el proyecto

5.-Problemas a resolver

6.-Alcances y limitaciones

7.-Fundamentos teóricos

8-Procedimiento y descripción de las actividades realizadas

9.- Resultados, planos, gráficas, prototipos y programas.

8.-Conclusiones y recomendaciones.

9.-Bibliografía.

1.-Introducción.

La Serie de Fourier y la Transformada de Fourier es una herramienta matemática que tiene un uso muy amplio en lo referente al tratamiento digital de señales, se encuentra implementada bajo la forma de dispositivos electrónicos de reconocimiento de voz e imagen; puede ser aplicada a varios campos como análisis espectral, ecuaciones diferenciales, resolución de problemas elásticos estacionarios y dinámicos, etc.

El presente trabajo, enlaza los aspectos teóricos con la aplicación práctica de la Transformada de Fourier y Serie de Fourier en el procesamiento digital de imágenes mediante el desarrollo de aplicaciones que implementan los algoritmos de la Transformada Rápida de Fourier, los mismos que son explicados y analizados de una manera clara.

Este un texto de nivel superior orientado a los estudiantes de Informática, Ingeniería Sistemas y Ingeniería Electrónica.

Importancia del proyecto y datos históricos.

El desarrollo matemático de la transformada de Fourier fue explicado por Jean Baptiste Joseph Fourier, en su libro la Teoría Analítica del Calor, publicado en 1822; posteriormente, en 1965 James Cooley y John Tukey publicaron su artículo “Un algoritmo para calcular las Series de Fourier Complejas”, el cual es conocido como algoritmo FFT (Fast Fourier Transform) y que con el desarrollo acelerado de las computadoras digitales ha permitido la aplicación de la FFT a diferentes campos.

Su aplicación al procesamiento de imágenes se encuentra documentado en los libros específicos sobre la materia a un nivel teórico, en los que no se expone directamente, la forma de implementación de los diferentes algoritmos, y en el mejor de los casos presentan una descripción narrativa del algoritmo, como ejemplo se puede revisar el libro Digital Image Processing de González y Woods. Por otra parte, los libros específicos sobre la Transformada Rápida de Fourier, se centran su aplicación mayormente a la fundamentación matemática y explicación de los algoritmos, presentando aplicaciones más orientadas al Procesamiento Digital de Señales, que corresponde al campo de la Electrónica.

2.-Justificación

Hacer una demostración de la aplicación de la transformada de Fourier y la serie de Fourier aplicado los conceptos teóricos desarrollados durante el curso de ecuaciones al procesamiento de imágenes digitales utilizando las herramientas MATLAB y Visual Studio.

3.-Objetivos General y específicos

Con las consideraciones anteriores, el presente proyecto, reúne en un documento la fundamentación matemática, los algoritmos de la Serie de Fourier transformada de Fourier, transformada Rápida de Fourier, y la aplicación de los mismos al procesamiento de imágenes mediante el desarrollo de software que muestra como se implementan dichos algoritmos.

Realizar una descripción de los principales teoremas de análisis de Fourier.

4.-Caracterización del área donde se encuentra relacionado el proyecto

Las Serie de Fourier y Transformada de Fourier son usadas en muchas áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

5.-Problemas a resolver

Queremos aplicar la serie de Fourier y la transformada de Fourier a imágenes digitales, crear un programa en el cual podamos aplicar estos algoritmos llevándolos a la aplicación.

6.-Alcances y limitaciones

Las Serie de Fourier y Transformada de Fourier es usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos

A pesar de su enorme utilidad, la TF presenta ciertas limitaciones cuandose aplica a señales no estacionarias.

7.-Fundamentos teóricos

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier es una aplicación que hace corr

esponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:

Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal.

La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.

La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.

Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aquí algunas de ellas:

Ejemplo de la Transformada de Fourier

Serie de Fourier

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series

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