Series de Fourier, Transformadas

Divulgaciones Matem´

aticas v. 5, No. 1/2 (1997), 43–60

Series de Fourier, Transformadas

de Fourier y Aplicaciones

Fourier series, Fourier Transforms and Applications

Genaro Gonz´

alez

Departamento de Matem´

atica y Computaci´

on

Facultad Experimental de Ciencias

Universidad del Zulia. Apartado Postal 526

Maracaibo 4001 - Venezuela

gonzalez@luz.ve

Resumen

En este art´iculo se estudian las series de Fourier en el c´irculo

y la transformada de Fourier de funciones reales in nitamente

diferenciables con todas sus derivadas r´

apidamente decrecientes.

Tambi´en se dan ejemplos de algunas de las aplicaciones m´

as im-

portantes del an´

alisis de Fourier a varias ramas de la matem´

atica

y de la f´isica.

Palabras y frases clave: Teorema del isomor smo, serie de

Fourier, transformada de Fourier, identidad de Parseval, identi-

dad de Plancherel, funciones de Schwartz.

Abstract

In this article we study the Fourier series in the circle and the

Fourier transform of in nitely diferentiable real functions with

all its derivatives rapidly decreasing. We also provide examples

of some of the most important aplications of Fourier analysis to

several branches of mathematics and physics.

Key words and phrases: The isomorphism theorem, Fourier

series, Fourier transform, Parseval identity, Plancherel identity,

Schwartz functions.

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Genaro Gonz´

alez

1 Introducci´

on

La idea b´

asica de las series de Fourier es que to da funci´

on peri´

odica de per´iodo

T puede ser expresada como una suma trigonom´

etrica de senos y cosenos del

mismo per´io do T . El problema aparece naturalmente en astronom´ia, de hecho

Neugebauer (1952) decubri´

o que los Babilonios utilizaron una forma primitiva

de las series de Fourier en la predicci´

on de ciertos eventos celestiales.

La historia moderna de las series de Fourier comenz´

o con D’Alembert

(1747) y su tratado de las oscilaciones de las cuerdas del viol´in. El desplaza-

miento u = u(t, x) de una cuerda de viol´in, como una funci´

on del tiempo t y

de la posici´

on x, es soluci´

on de la ecuaci´

on diferencial

2 u

t2 = 2 u

x2 , t > 0, 0 < x < 1,

sujeto a las condiciones iniciales u(t, 0) = u(t, 1) = 0 para t = 0, u

t (0, x) = 0

para 0 < x < 1. La soluci´

on de este problema es la superposici´

on de dos

ondas via jando en direcciones opuestas a la velocidad 1, como lo expresa la

f´

ormula de D’Alembert:

u(t, x) = 1

2 f (x + t) + 1

2 f (x - t),

en la cual f es una funci´

on impar de per´iodo 2 que se anula en los puntos

x = 0, ±1, ±2, . . . Euler en 1748 propuso que tal soluci´

on pod´ia ser expresada

en una serie de la forma

8

ˆ

f (x) =

f (n) sin npx,

n =1

y como consecuencia

8

ˆ

u(t, x) =

f (n) cos npt sin npx.

n =1

Las mismas ideas fueron luego expuestas por D. Bernoulli (1753) y Lagrange

(1759). La f´

ormula

ˆ

f (x) sin npx dx

f (n) = 2 1

0

para calcular los coe cientes apareci´

o por primera vez en un art´iculo escrito

por Euler en 1777.

Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones 45

La contribuci´

on de Fourier comenz´

o en 1807 con sus estudios del problema

del ujo del calor

u

2 u

x2 ,

t = 1

2

presentado a la Acad´

emie des Sciences en 1811 y publicado en parte como

la c´elebre Th´

eorie analytique de la chaleur en 1822. Fourier hizo un intento

serio por demostrar que cualquier funci´

on diferenciable puede ser expandida

en una serie trigonom´

etrica. Una prueba satisfactoria de este hecho fue dada

por Dirichlet en 1829. Riemann tambi´

en hizo contribuciones importantes al

problema.

Modernamente el an´

alisis de Fourier ha sido impulsado por matem´

aticos

de la talla de Lebesgue, Hardy, Littlewood, Wiener, Frobenius, Selberg, Weil

y Weyl entre otros.

En este art´iculo se estudian los fundamentos te´

oricos de mayor relevan-

cia de las series y transformadas de Fourier y se presentan algunas de sus

aplicaciones.

2 Espacios de Hilbert

De nici´

on 1. Un espacio eucl´ideo es un espacio vectorial complejo H junto

con una funci´

on que asocia a cada par ordenado de vectores x, y H un

n´

umero complejo (x, y), llamado producto interior de x e y, de manera tal que

se veri can las siguientes propiedades:

1. (x, y) = (y, x), (la barra denota conjugaci´

on compleja).

2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z), para todo x, y, z H.

3. (ax, y ) = a(x, y), para todo x, y H y para todo escalar a.

4. (x, x) = 0, para todo x H.

5. (x, x) = 0 s´

olo si x = 0.

En virtud de la propiedad 4 podemos de nir la norma de un vector x de

H mediante la f´

ormula x = (x, x). Se satisfacen las siguientes relaciones:

1. Desigualdad de Schwarz. Para to do x, y H, |(x, y)| = x y .

2. Desigualdad triangular. Para todo x, y H, x + y = x + y .

Si de nimos la distancia entre x e y mediante d(x, y) = x - y tenemos ahora

que H es un espacio m´

etrico.

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Genaro Gonz´

alez

De nici´

on 2. Un espacio eucl´ideo H recibe el nombre de espacio de Hilbert

si toda sucesi´

on de Cauchy converge en H, es decir, si H es completo con la

m´

etrica inducida por el producto interno.

De nici´

on 3. Sea H un espacio de Hilbert. Si (x, y) = 0 para ciertos x, y

H decimos que x es ortogonal a y . Como (x, y) = 0 implica que (y, x) =

0 tenemos que la relaci´

on de ortogonalidad es una relaci´

on sim´

etrica. Un

un conjunto de indices A, se

conjunto de vectores ua en H, donde a recorre alg´

...