Mate aplicada series de fourier transformada

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Índice.

Introducción.

Relevancia y planteamiento del problema.

        Como es bien sabido, nuestro país a través de los años se ha ganado la no envidiable fama de ser el país con mayor actividad sísmica del mundo. Uno de los factores de mayor contribución a este hecho es que como país nos bordea el Cinturón de Fuego del Pacífico, también conocido como el Cinturón Circumpacífico, el cual se caracteriza por concentrar algunas de las zonas de subducción más importantes del mundo, lo que ocasiona una intensa actividad sísmica y volcánica en las zonas que abarca. 

        Por este motivo es interesante e importante poner énfasis en el estudio de los fenómenos sísmicos, ya que es algo que vive junto a nosotros al abarcar gran parte de nuestro territorio nacional.

       Uno de los roles de la ingeniería sísmica es preparar las construcciones para que puedan soportar terremotos de gran magnitud, para esto es necesario comprender cómo interactúan las ondas sísmicas con las construcciones, y a su vez es necesario contar con herramientas matemáticas que nos permitan desglosar todas las propiedades que presentan los trenes de ondas sísmicas.

     Nuestro trabajo se centrará, en comprender las herramientas matemáticas que nos permiten analizar y entender de mejor manera las propiedades de las ondas sísmicas. Dentro de estas herramientas se encuentran las Transformadas de Fourier, las cuales son muy utilizadas en el análisis de sistemas y señales en ingeniería eléctrica. Otro aspecto importante, el cual se tiene que considerar, es la digitalización de señales, ya que para poder realizar un estudio adecuado de las ondas sísmicas es necesario hacer análisis por computadora.

    Antes de empezar a hablar del análisis de Fourier para señales sísmicas y el proceso de digitalización de señales, es imperativo que nos adentremos en el mundo y los conceptos de la sismología para así entender de mejor forma el fenómeno que deseamos estudiar.

Sismos y Ondas Sísmicas.

    Los sismos o terremotos, son un fenómeno de perturbación de la superficie terrestre, el cual es producido principalmente por colisiones de las placas tectónicas o actividad volcánica de la tierra. Cuando ocurre este fenómeno, se liberan grandes cantidades de energía, en forma de ondas sísmicas.

    Las ondas sísmicas generadas por un sismo, son ondas elásticas que se trasladan por la superficie terrestre o por el interior de ella. A las primeras se les llama “ondas de superficie” y las segundas “ondas de cuerpo”.

    Las ondas de cuerpo al desplazarse por el interior de de la tierra su velocidad es mayor, son los primeras ondas que se reciben.

Se clasifican en dos grupos: ondas P (primarias) y ondas S (secundarias).

• Ondas P.

• Las ondas P, son ondas longitudinales, donde el suelo es comprimido y dilatado en la dirección de la propagación. Este tipo de ondas pueden viajar a través de cualquier material.

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• Ondas S.

• Las ondas S, son ondas transversales, el suelo es desplazado perpendicularmente a la dirección de propagación. Estas solo pueden viajar a través de medios sólidos.

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Para el caso de las ondas superficiales, se distinguen dos tipos: las ondas “Rayleigh” y “Love”. Estas ondas al viajar a través de la superficie, su velocidad es menor.

• Ondas Rayleigh.

• Este tipo de ondas se producen en la superficie de la tierra, su propagación es elíptica en el plano de propagación de la onda.

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• Ondas Love.

• Estas ondas se propagan con un movimiento perpendicular a la dirección de propagación, pero solo en su componente horizontal. Solo se producen en un medio elástico estratificado(formado por capas).

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Sismógrafo y recolección de datos sísmicos.

      Para poder estudiar las señales sísmicas, es necesario adquirir datos producidos por los sismos. Para ello se emplea un instrumento de medición, llamado sismógrafo.

    El principio básico de un sismógrafo consiste en una masa suspendida con un resorte, el cual se encuentra en un soporte. Cuando el sismógrafo se ve afectado por las ondas sísmicas, la masa comienza a oscilar. Para que el movimiento refleje correctamente las ondas sísmicas, se amortigua el péndulo. Estas oscilaciones se registran en un papel, el cual se denomina “sismograma”.

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Digitalización de Señales.

      Al registrar un sismo con un sismógrafo, se obtiene una señal continua con el tiempo (señal análoga), comúnmente se expresa como “X(t)”. Para poder hacer un procesamiento por computador, es necesario digitalizar la señal (discretizar), la cual se expresa como “X[n]”. Ya que se necesitaría conocer una cantidad infinita de puntos, con sus respectivos valores, o conocer la expresión de la función X(t), lo que en la mayoría de los casos es imposible.

     Para poder expresar una función continua, como una función discreta se procede a realizar un proceso denominado “Muestreo Digital”, el cual consiste en tomar muestras de una señal analógica en un intervalo de tiempo constante, registrando los valores correspondientes a cada intervalo.

     Que la señal digital represente correctamente a la función original, dependerá de la longitud del intervalo de muestreo, o equivalente dependerá de la cantidad de puntos que se tomen. Debido a esto, el rendimiento computacional se verá reducido al aumentar la cantidad de puntos. Por lo que se tiene que alcanzar un punto de equilibrio, para calidad de la señal digital y el rendimiento computacional.

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Analisis de Fourier.

      Las series de Fourier nos permiten representar una función periódica, como una combinación lineal de funciones senos y cosenos. Pero en nuestro caso, la naturaleza de las señales sísmicas no es periódica. Por lo que tenemos que hacer uso de la “Transformada de Fourier”

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