Series De Fourier

f(x)={█(-1 -π≤x<0@+1 0<x≤π)┤

Paso 1

Se grafica la funcion f(x)

Paso 2

Obtencion del area por:

a)suma de areas

∆t=-π+π=0

b) Euler

a_0=1/2π ∫_(-π)^π▒f(x)dx

a_0=1/2π [∫_(-π)^0▒〖-1dx+∫_0^π▒dx〗]

a_0=1/2π [-x├|■(0@π)┤+x├|■(π@0)┤]

a_0=1/2π [-(0-(-π))+(π-0)]

a_0=1/2π [-(π)+π]

a_0=1/2π [-π+π]=0

Paso 3

Obtencion de los coeficientes de euler

a_n=1/π ∫_(-π)^π▒〖f(x)cos nxdx〗

a_n=1/π [∫_(-π)^0▒〖(-1)cos nxdx+ ∫_0^π▒〖(1)cos nxdx〗〗]

a_n=1/π [-∫_(-π)^0▒〖cos nxdx+ ∫_0^π▒〖cos nxdx〗〗]

a_n=1/π [-1/n sen nx├|■(0@-π)┤+1/n sen nx├|■(π@0)┤]

a_n=1/π [-1/n sen n(0)-(-1/n sen n(-π))+1/n sen π-1/π sen(0)]

a_n=1/π [-1/n sen 0+1/n sen(-π)+1/n sen π-1/2 sen(0)]

a_n=1/π [-1/n sen nπ0+1/n sen nπ]

a_n=0

Ahora encontraremos el valor de b_n

b_n=1/π ∫_(-π)^π▒〖f(x)sen nxdx〗

b_n=1/π [∫_(-π)^0▒〖(-1)sen nxdx+ ∫_0^π▒〖(1)sen nxdx〗〗]

b_n=1/π [-∫_(-π)^0▒〖sen nxdx+ ∫_0^π▒〖sen nxdx〗〗]

b_n=1/π [1/n cos nx├|■(0@-π)┤-1/n cos nx├|■(π@0)┤]

b_n=1/π [1/n (cos n(0)-cos n(-π))-1/n(cos nπ-cos n(0))]

b_n=1/π [1/n (cos (0)-cos n(-π))-1/n(cos nπ-cos (0))]

b_n=1/π [1/n (1-cos nπ)-1/n(cos nπ-1)]

b_n=1/π [2/n-2/n cos nπ]

b_n=2/πn [1-cos nπ]

Paso 4

Calculo de a_1,a_2,a_3……a_10 y b_1,b_2,b_3……b_10

a_n=0

b_n=2/πn [1-cos nπ]

Para n=1

b_n=2/π [1-cos π]=2/π [1-(-1)]=2/π [1+1]=4/π

b_n=2/π2 [1-cos(2 π)]=2/π [1-1]=2/π(0)=0

b_n=2/3π [1-cos (3π)]=2/3π [1-(-1)]=2/3π [1+1]=4/3π

b_n=2/4π [1-cos(4 π)]=2/4π [1-1]=2/4π(0)=0

b_n=2/5π [1-cos (5π)]=2/5π [1-(-1)]=2/5π [1+1]=4/5π

b_n=2/6π [1-cos(6 π)]=2/6π [1-1]=2/6π(0)=0

b_n=2/7π [1-cos (7π)]=2/7π [1-(-1)]=2/7π [1+1]=4/7π

b_n=2/8π [1-cos(8 π)]=2/8π [1-1]=2/8π(0)=0

b_n=2/9π [1-cos (9π)]=2/9π [1-(-1)]=2/9π [1+1]=4/9π

b_n=2/10π [1-cos(10π)]=2/10π [1-1]=2/10π(0)=0

Paso 5

Calculo de las formulas de recurrencia

Par= n2

Impar= n2-1

a_0=1/2π [-π+π]=0

b_n=2/πn [1-cos nπ]

b_2n=o

b_(2n-1)=4/(π(n2-1))

Paso 6

Serie de fourier en su forma general

f(x)=a_0=∑_(n=1)^∞▒( a_n cos nx+b_n sen nx)

f(x)=a_0=∑_(n=1)^∞▒( b_n sen nx)

f(x)=a_0=∑_(n=1)^∞▒( 4/π(n2-1) sen(2n-1)x)

Paso 7

Obtencio de la serie de fourier en su forma desarrollada

...