SERIES TRIGONOMETRICAS DE FOURIER

Series Trigonométricas de Fourier

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.

Coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier

ao=1/T ∫_0^T▒f(t)dt

an=2/T ∫_0^T▒〖f(t) cos⁡(nw_0 t)dt〗

bn=2/T ∫_0^T▒〖f(t) sen⁡(nw_0 t) dt〗

f(t)=ao+ ∑_(-∞)^∞▒〖[an*cos⁡〖(nw_0 t)+bn*sen⁡(nw_0 t)〗 ]〗

Ejercicios:

f(t)= (0.5 t)/1ms w_0= 2π/T = 2π/1ms

ao=1/1ms ∫_0^1ms▒〖(0.5 t)/1ms dt〗=〖(0.5 )/1ms t^2/2〗_( 0)^( 1ms)= 1/4

an=2/1ms ∫_0^1ms▒〖((0.5 t)/1ms) cos⁡(nw_0 t)dt〗= 2/1ms [ 〖(0.5 t)/1ms (sen⁡(nw_0 t))/(nw_0 )〗_( 0)^( 1ms)+0.5/(nw_0 )^2 〖 cos⁡(nw_0 t)/1ms〗_( 0)^( 1ms) ]=0

bn=2/1ms ∫_0^1ms▒〖((0.5 t)/1ms) sen⁡(nw_0 t)dt〗 = 2/1ms [ 〖(0.5 t)/1ms cos⁡(nw_0 t)/(nw_0 )〗_( 0)^( 1ms)+0.5/(nw_0 )^2 〖(sen⁡(nw_0 t))/1ms〗_( 0)^( 1ms) ]= - 0.5/nπ

f(t)=1/4+ ∑_(-∞)^∞▒〖[0*cos⁡〖(nw_0 t)- (0.5)/nπ*sen⁡(nw_0 t)〗 ]〗

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