Series de Fourier
Enviado por • 25 de Mayo de 2015 • 2.413 Palabras (10 Páginas) • 223 Visitas
Series de Fourier
Nuestro principal objetivo es introducir las series de Fourier. ¶Estas surgieron hist¶oricamente
al resolver por el m¶etodo de separaci¶on de variables un problema de contorno de ecuaciones
en derivadas parciales.
Cuando estas f¶ormulas fueron propuestas por Daniel Bernouilli en 1.753, muchos
matem¶aticos pensaron que era imposible expresar una funci¶on f(x) cualquiera como suma
de senos y cosenos. Fue un ingeniero, Joseph Fourier, el que se encarg¶o de recopilar datos
para convencer al mundo cient¶³¯co de tal posibilidad.
7.1 Series de Fourier
De¯nici¶on 7.1 (Serie de Fourier)
Se llama serie de Fourier de una funci¶on f(x) en el intervalo [¡¼; ¼] a:
f(x) =
a0
2
+
1X
n=1
(an cos nx + bn sen nx) (¤)
A los coe¯cientes a0; a1; ¢ ¢ ¢ ; an; b0; b1; ¢ ¢ ¢ ; bn se les llama coe¯cientes de Fourier de
f(x) en [¡¼; ¼].
Debido a que
Z ¼
¡¼
senmxsen nx dx =
(
0 si n 6= m
6= 0 si n = m
Z ¼
¡¼
cos nx dx = 0
Z ¼
¡¼
sen nx dx = 0
1
2 Tema 7. Series de Fourier
Z ¼
¡¼
cosmxcos nx dx =
(
0 si n 6= m
6= 0 si n = m
Z ¼
¡¼
senmxcos nx dx = 0
e integrando t¶ermino a t¶ermino en la igualdad (¤) obtenemos:
Z ¼
¡¼
f(x) cos nx dx = an
Z ¼
¡¼
cos2 x dx = an¼ ) an =
1
¼
Z ¼
¡¼
f(x) cos nx dx
Z ¼
¡¼
f(x) dx =
a0
2
2¼ ) a0 =
1
¼
Z ¼
¡¼
f(x) dx
Z ¼
¡¼
f(x) sen nx dx = bn
Z ¼
¡¼
sen2 x dx = bn¼ ) bn =
1
¼
Z ¼
¡¼
f(x) sen nx dx
Las anteriores propiedades de las funciones sen nx; cosmx se pueden resumir en que
el sistema
f1; sen x; sen 2x; ¢ ¢ ¢ ; cos x; cos 2x ¢ ¢ ¢g
es un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalar
(f(x); g(x)) =
Z ¼
¡¼
f(x)g(x) dx y la serie de Fourier no es mas que la expresi¶on de un
vector f(x) como combinaci¶on lineal de los vectores de la anterior base ortogonal.
De¯nici¶on 7.2 Se llama serie de Fourier de una funci¶on f(x) en el intervalo [¡L;L]
a:
f(x) »
a0
2
+
1X
n=1
µ
an cos
n¼
L
x + bn sen
n¼
L
x
¶
donde a0 =
1
L
Z L
¡L
f(x) dx an =
1
L
Z L
¡L
f(x) cos
n¼
L
x dx
bn =
1
L
Z L
¡L
f(x) sen
n¼
L
x dx
Este hecho se basa en que el sistema de vectores
½
1; sen
¼x
L
; sen
2¼x
L
; ¢ ¢ ¢ ; cos
¼x
L
; cos
2¼x
L
; ¢ ¢ ¢
¾
es un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalar
(f(x); g(x)) =
Z L
¡L
f(x)g(x) dx
An¶alogamente se puede de¯nir la serie de Fourier de una funci¶on f(x) de¯nida en un
intervalo [a; b] haciendo una traslaci¶on del punto medio
a + b
2
al origen.
7.1. Series de Fourier 3
Tomo L = b ¡
a + b
2
=
b ¡ a
2
¡ L = a ¡
a + b
2
=
a ¡ b
2
De¯nici¶on 7.3 Se llama serie de Fourier de una funci¶on f(x) en el intervalo [a; b] a
f(x) =
a0
2
+
1X
n=1
Ã
an cos
n¼
b¡a
2
x + bn sen
n¼
b¡a
2
x
!
donde a0 =
2
b ¡ a
Z b
a
f(x) dx an =
2
b ¡ a
Z b
a
f(x) cos
2n¼
b ¡ a
x dx
bn =
2
b ¡ a
Z b
a
f(x) sen
2n¼
b ¡ a
x dx
Las series anteriores tambi¶en se podr¶³an haber escrito de la forma:
f(x) » C0 +
1X
n=1
Cn cos(n!0t ¡ µn)
donde Cn =
q
a2
n + b2
n; cos µn =
a q n
a2
n + b2
n
sen µn =
bn q
a2
n + b2
n
µn = arctang
bn
an
siendo !0 = 1;
¼
L
;
2¼
b ¡ a
seg¶un hayamos utilizado una de las tres f¶ormulas anteriores.
La componente sinusoidal de frecuencia !n = n!0 se denomina la en¶esima arm¶onica
de la funci¶on peri¶odica. La primera arm¶onica se conoce comunmente con el nombre de
fundamental porque tiene el mismo periodo que la funci¶on y !0 =
2¼
T
se conoce con
el nombre de frecuencia angular fundamental. Los coe¯cientes Cn y los ¶angulos µn se
conocen como amplitudes arm¶onicas y ¶angulos de fase, respectivamente. En M¶usica, a la
primera arm¶onica, segunda arm¶onica, etc. se le suele llamar fundamental, primer tono,
segundo tono, etc.
Quedan muchas cuestiones por resolver:
² > Qu¶e debe cumplir f(x) para que su serie de Fourier converja?
² Si converge, > lo hace a f(x)?
² > Es posible integrar t¶ermino a t¶ermino?. > Y derivar?
Estas preguntas las responderemos con los siguientes teoremas.
4 Tema 7. Series de Fourier
7.1.1 Convergencia de las series de Fourier
Teorema 7.1 (Teorema de convergencia puntual para series de Fourier)
Si f(x) y f '(x) son continuas a trozos en [¡L;L], entonces 8x 2 (¡L;L) se veri¯ca:
a0
2
+
1X
n=1
µ
an cos
n¼
L
x + bn sen
n¼
L
x
¶
=
1
2
h
f(x+) + f(x¡)
i
Para x = §L la serie de Fourier converge a
1
2
h
f(¡L+) + f(L¡)
i
.
Teorema 7.2 (Teorema de convergencia uniforme de series de Fourier)
Sea f(x) una funci¶on continua
...