SERIE DE FOURIER

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INDICE

Series de Fourier...............................................................................1

Implementación de las series de Fourier...........................................1

Coeficientes de Fourier......................................................................2

Propiedades de los coeficientes........................................................3

Cambio de Periodo............................................................................4

Series de Fourier de funciones pares e impares...............................4

Aplicaciones y ejemplos de la serie de Fourier.................................5

Ejercicio de serie de Fourier..............................................................5

Referencias........................................................................................6

SERIE DE FOURIER

La serie de Fourier es una herramienta matemática que nos permite obtener información de una función dada por transformación. De manera que, cuando se hace referencia a la serie de Fourier, en realidad estamos hablando de una transformación que nos permite extraer información sobre la frecuencia de un ciclo (puede ser cualquier función) cuando se comprende solamente una parte de su comportamiento.

La idea intrínseca de la serie nos demuestra que cualquier función, generalmente periódica, puede aproximarse mediante funciones simples sinusoidales. De forma que cuanto más coincide una onda simple con el dato observado, más peso tiene en la determinación de la función original. Con este procedimiento es posible representar funciones deterministas o de índole aleatoria.

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Figura 1. Modos normales formando una serie sinusoidal armonica.

En la figura anterior se pueden observar que la serie sinusoidal o frecuencia es múltiplo de una fundamental. De esta forma, Euler afirmó que la configuración de la cuerda de un instante determinado se podía poner como una combinación lineal de los modos normales siendo todavía valido en los instantes siguientes de tiempo.

Fue en 1807 que el matemático Jean Baptiste Joseph Fourier mostró, en la Academia Francesa de las Ciencias, el producto de unos estudios sobre la transmisión del calor, donde introdujo un método de resolución para las ecuaciones planteadas ahí mismo; el método se conoce como Transformada de Fourier. Dentro de su presentación hizo referencia a los trabajos de opositores como Euler, Laplace o Lagrange.

La idea fundamental de la serie de Fourier nos indica que cualquier función se puede aproximar con ayuda de funciones simples sinusoidales, es decir, que cuanto más coincide una onda simple con el dato observado, más peso tiene en la determinación de la función original.

IMPLEMENTACION DE LA SERIE DE FLOURIER

COEFICIENTES DE FOURIER

Las funciones periódicas que se presentan en problemas prácticos con frecuencia son bastantes complicadas y es deseable representarlas en términos de funciones periódicas simples. Podemos notar que casi cualquier función periódica f(t) de periodo 2p que aparezca en las aplicaciones puede representarse por una serie trigonométrica denominada serie de Fourier de f.

Las series de Fourier son series de términos seno y coseno, y surgen en la tarea práctica de representar funciones periódicas generales. Estas series son una de las herramientas más importantes en la solución de problemas en los que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. La introducción de las series de Fourier fue uno de los mayores avances realizados en la física matemática y en sus aplicaciones en la ingeniería.

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Figura 2. Transformada de fourier en dominios de tiempo-frecuencia.

Estas series son trigonométricas cuyos coeficientes se determinan a partir de f(t) mediante ciertas fórmulas (fórmulas de Euler). Supongamos que f(t) es una función periódica de periodo 2p que puede representarse por una serie trigonométrica, es decir, se supone que esta serie converge y que tiene a f(t) como una suma. [pic 20]

Dada una función f(t) como ésta, se desea determinar los coeficientes an y bn  de la serie trigonométrica correspondiente.

Para determinar a0 primero tenemos que integrar ambos miembros de la ecuación:[pic 21]

Ahora multiplicamos la igualdad por cos(nx) e integramos nuevamente, haciendo lo mismo con sen(nx), con esto llegamos a:

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Los valores de an, bn que se obtienen son los siguientes:

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Los coeficientes dependen de la función y cuando intervienen simultáneamente coeficientes de varias funciones distintas, conviene hacer explícita esta dependencia; en esos casos nos referiremos an(f) y bn(f).

La descomposición de una función en los componentes que constituyen los términos de su serie de Fourier es un proceso de análisis de la función; la recuperación de la función a partir de sus componentes de la síntesis.

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