Introducción a Las Series de Fourier

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIO DE CINTALAPA

ALUMNO: JOSE MARIA SANCHEZ BALCAZAR

MATERIA: ECUACIONES DIFERENCIALES

CATEDRATICO: MC. César Alberto Camacho Fernández

UNIDAD: 5

TEMA: Introducción a Las Series de Fourier

CINTALAPA DE FIGUEROA CHIAPAS A 03 DE ENERO DEL 2022

Las series de Fourier son la herramienta matemática básica del análisis de Fourier que seutiliza para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dichas funciones en una suma infinita de funciones sinusoidales más simples (combinación linealde senos y cosenos con frecuencias naturales). Su nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)Frecuentemente ocurren fenómenos periódicos en física y sus aplicaciones a la ingeniería, y es importante en problemas prácticos, representar las correspondientes funciones periódicas en términos de funciones periódicas simples tal como senos y cosenos. Esto conduce a las series de Fourier, cuyos términos son funciones senos y cosenos.Su introducción por Fourier, después del trabajo hecho por Euler y Bernoulli, fue uno de los eventos más importantes en el desarrollo de la matemática aplicada.Las ideas y técnicas de las series de Fourier pueden extenderse a fenómenos no periódicos, apareciendo así las integrales y transformadas de Fourier, completando así el área de Análisis de Fourier.La teoría de las series de Fourier está basada en los conceptos de espacios vectoriales, producto interior, normas y conjuntos ortogonales, y puede resultar un tanto complicada, pero la aplicación de estas series a la resolución de problemas es simple.Las series de Fourier son, en un cierto sentido, más universales que las series de Taylor, dado que muchas funciones periódicas discontinuas de interés práctico pueden ser desarrolladas en series de Fourier, pero no tienen representación en series de Taylor.La idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de período T puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo período T. Elproblema aparece naturalmente en astronomía, de hecho, Neugebauer (1952) descubrió que los Babilonios utilizaron una forma primitiva de las series de Fourier en la predicción de ciertos eventos celestiales. La historia moderna de las series de Fourier comenzó con D’Alembert (1747) y su tratado de las oscilaciones de las cuerdas del violín. El desplazamiento u = u (t, x) de una cuerda de violín, como una función del tiempo t y de la posición x, es solución de la ecuación diferencial ∂ 2u ∂t2 = ∂ 2u ∂x2, t > 0, 0 < x < 1,sujeto a las condiciones iniciales u (t, 0) = u (t, 1) = 0 para t ≥ 0, ∂u ∂t (0, x) = 0 para 0 < x < 1. La solución de este problema es la superposición de dos ondas viajando en direcciones opuestas a la velocidad 1, como lo expresa la fórmula de D’Alembert:u (t, x) = 1 2 f (x + t) + 1 2 f (x − t), en la cual f es una función impar de período 2 que se anula en los puntos x = 0, ±1, ±2, . . . Euler en 1748 propuso que tal solución podía ser expresada en una serie de la forma

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