Las series de Fourier

Transformadas de Laplace y Fourier

Carlos Pimentel Guzmán

Circuitos y redes

Instituto IACC

23/08/2021

Desarrollo

1. Escriba en SCILAB el siguiente código que representa una serie de Fourier y elabore su grafica respectiva. Distinga los elementos de la serie.

[pic 1] 

Nota: Para la entrega de esta pregunta, se solicita rescatar los pantallazos de SCILAB que sean necesarios, y que den cuenta del proceso realizado. Los pantallazos deben ser pegados en el formato Word de entrega del control, y a través de flechas, destacar los requisitos solicitados.

Para resolver y aplicar en SCILAB, se ocupó el ejemplo que se da en la guía de estudio de la semana 7, en la página 31:

 T=0:0.1:5;

v=1/4+((2/%pi)*cos(%pi/4)*sin(2*%pi*t))+((1/%pi)*sin(4*%pi*t));

plot(t,v)

Con los datos dados se dan los siguientes resultados paso por paso:

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

1. Utilizando la tabla de conversión de transformadas de Laplace, identifique cada elemento de la función utilizando su transformada equivalente

[pic 8]

L{3 ++}[pic 9][pic 10][pic 11]

=3L{ }+L{}+L{}[pic 12][pic 13][pic 14]

=3{1/s+5}+[1/s+2}+1!/[pic 15]

=(3/s+5)+(1/s+2)+1/[pic 16]

[pic 17]

L{4+6-3sen(4t)+2cos(2t)}[pic 18][pic 19]

Aplicamos la propiedad de linealidad

L{4+6-3sen(4t)+2cos(2t)}[pic 20][pic 21]

=L{}+L[}-L[3sen(4t)}+L{2cos2t)}[pic 22][pic 23]

=4L{}+6L{}-3L{3sen(4t)}+2{3sen(4t)}[pic 24][pic 25]

=4{1/s-5}+6{3!/)-3{4/+16}+2{s/+4}[pic 26][pic 27][pic 28]

=(4/s-5)+(36/)+(12/+16)+(2s/+4)[pic 29][pic 30][pic 31]

1. Mencione una aplicación industrial donde se utilicen las transformadas de Laplace y las Series de Fourier.  

 Las series de Fourier es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Sus áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

Las transformadas de Laplace en el estudio de los procesos es necesario   considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo. Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso.

Los comportamientos dinámicos de los procesos en la naturaleza se pueden representar de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal: La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales. De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio. Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.

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