La transformada de Fourier y su aplicación en el procesamiento de imágenes

LA TRANSFORMADA DE FOURIER Y SU APLICACIÓN EN EL PROCESAMIENTO DE IMÁGENES

PROYECTO INTERNO

DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA

Informe

Mauricio García

Gabriel Pazmiño

Quito, Diciembre 2008

LA TRANSFORMADA DE FOURIER Y SU APLICACIÓN EN EL PROCESAMIENTO DE IMÁGENES

Informe

Mauricio García

Gabriel Pazmiño

Resumen

El presente proyecto comprende la investigación sobre los fundamentos matemáticos, algoritmos y aplicación práctica en el procesamiento de imágenes de la Transformada de Fourier, y la difusión a través de la elaboración de un texto orientado a los estudiantes de Informática, Sistemas o ramas afines, ya que la implementación de la Transformada Rápida de Fourier (más conocida como FFT por sus siglas en inglés) aplicada al procesamiento de imágenes, en la bibliografía especializada, no se encuentra explícitamente bien documentada.

Introducción

La Transformada de Fourier es una herramienta matemática que tiene un uso muy amplio en lo referente al tratamiento digital de señales, se encuentra implementada bajo la forma de dispositivos electrónicos de reconocimiento de voz e imagen; puede ser aplicada a varios campos como análisis espectral, ecuaciones diferenciales, resolución de problemas elásticos estacionarios y dinámicos, etc.

El presente trabajo, enlaza los aspectos teóricos con la aplicación práctica de la Transformada de Fourier en el procesamiento digital de imágenes mediante el desarrollo de aplicaciones que implementan los algoritmos de la Transformada Rápida de Fourier, los mismos que son explicados y analizados de una manera clara y didáctica, en un texto de nivel superior orientado a los estudiantes de Informática, Sistemas y Ciencias de la Computación el cual se encuentra en construcción.

Importancia

El desarrollo matemático de la transformada de Fourier fue explicado por Jean Baptiste Joseph Fourier, en su libro la Teoría Analítica del Calor, publicado en 1822; posteriormente, en 1965 Cooley y Tukey publicaron su artículo “Un algoritmo para calcular las Series de Fourier Complejas”, el cual es conocido como algoritmo FFT (Fast Fourier Transform) y que con el desarrollo acelerado de las computadoras digitales ha permitido la aplicación de la FFT a diferentes campos.

Su aplicación al procesamiento de imágenes se encuentra documentado en los libros específicos sobre la materia a un nivel teórico, en los que no se expone directamente, la forma de implementación de los diferentes algoritmos, y en el mejor de los casos presentan una descripción narrativa del algoritmo, como ejemplo se puede revisar el libro Digital Image Processing de González y Woods. Por otra parte, los libros específicos sobre la Transformada Rápida de Fourier, se centran su aplicación mayormente a la fundamentación matemática y explicación de los algoritmos, presentando aplicaciones más orientadas al Procesamiento Digital de Señales, que corresponde al campo de la Electrónica.

Objetivo del estudio

Con las consideraciones anteriores, el presente proyecto, reúne en un documento la fundamentación matemática, los algoritmos de la transformada Rápida de Fourier, y la aplicación de los mismos al procesamiento de imágenes mediante el desarrollo de software que muestra como se implementan dichos algoritmos.

Materiales, Métodos y Procedimientos

Diseño de Investigación

Para el desarrollo de la investigación se aplicó el método lógico deductivo, el cual permitió desarrollar y explicar los fundamentos matemáticos de la FFT, también se utilizó el método do experimental, para comprobar los resultados arrojados por los algoritmos implementados al aplicarlos en las imágenes digitales.

Para la realización del proyecto fue necesario identificar la bibliografía especializada en dos áreas: transformada Rápida de Fourier y Procesamiento Digital de Imágenes, la misma que se anexa.

La investigación se dividió en tres fases:

Fundamentos matemáticos de la Transformada de Fourier

Análisis de los algoritmos de la Transformada Rápida de Fourier

Análisis, desarrollo e implementación de Aplicaciones utilizando la transformada de Fourier.

Fundamentos matemáticos:

En esta fase se estudió y analizó los fundamentos matemáticos de la Transformada de Fourier, para lo cual se partió de las series de Fourier, llegando hasta la Integral de Fourier; y de acuerdo con los objetivos del proyecto, se desarrolló en MatLab la aplicación que permite mostrar en forma didáctica el cálculo de los coeficientes de Fourier para series periódicas, así como su transformada.

Para el desarrollo de esta aplicación fue necesario estudiar el desarrollo de interfases gráficas con el objeto de visualizar los resultados de la implementación algorítmica de la serie de Fourier, el siguiente gráfico muestra la pantalla principal de la aplicación, y cuyo código fuente, debidamente explicado forma parte del documento de la investigación.

　　Algoritmos de la Transformada Rápida de Fourier

　　La transformada discreta de Fourier en una dimensión está

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