La transformada de Fourier

6. Se tiene una señal x[n] dada por

x[n]=[2 1 3]

La transformada de Fourier en tiempo discreto para una señal x[n] está dada por

X(e^jω )=∑_(n=-∞)^∞▒〖x[n] e^(-jω) 〗

Luego, la transformada de Fourier de x[n] es

X(e^jω )=∑_(n=0)^2▒〖x[n] e^(-jωn) 〗

X(e^jω )=2-e^(-jω)+〖3e〗^(-j2ω)

X(e^jω )=2-(cos⁡ω+j sin⁡ω )+3(cos⁡(2ω)+j sin⁡(2ω) )

X(e^jω )=2-cos⁡ω-j sin⁡ω+3 cos⁡(2ω)+j3 sin⁡(2ω)

X(e^jω )=2-cos⁡ω+3 cos⁡(2ω)+j[3 sin⁡(2ω)-sin⁡ω ]

Luego, la magnitud y el ángulo de la transformada de Fourier vienen dadas por

|X(e^jω )|=√([2-cos⁡ω+3 cos⁡(2ω) ]^2+[3 sin⁡(2ω)-sin⁡ω ]^2 )

∠X(e^jω )=tan⁡((3 sin⁡(2ω)-sin⁡ω)/(2-cos⁡ω+3 cos⁡(2ω) ))

Para obtener la transformada inversa de Fourier de X(e^jω ) se utiliza la ecuación

x[n]=1/2π ∫_(-π)^π▒X(e^jω ) e^jωn □(24&dω)

x[n]=1/2π ∫_(-π)^π▒(2-e^(-jω)+〖3e〗^(-j2ω) ) e^jωn □(24&dω)

x[n]=1/2π ∫_(-π)^π▒2 e^jωn □(24&dω-) 1/2π ∫_(-π)^π▒e^(-jω) e^jωn □(24&dω)+1/2π ∫_(-π)^π▒〖3e〗^(-j2ω) e^jωn □(24&dω)

x[n]=2/2π ∫_(-π)^π▒〖e^jωn dω〗-1/2π ∫_(-π)^π▒〖e^jω(n-1) dω〗+3/2π ∫_(-π)^π▒〖e^jω(n-2) □(24&dω)〗

Para n=0

x[0]=2/2π ∫_(-π)^π▒dω-1/2π ∫_(-π)^π▒〖e^(-jω) dω〗+3/2π ∫_(-π)^π▒〖e^(-j2ω) □(24&dω)〗

x[0]=2/2π ├ ω]_(-π)^π-1/2π∙1/(-j) ├ e^(-jω) ]_(-π)^π+3/2π∙1/(-j2) ├ e^(-j2ω) ]_(-π)^π

x[0]=2/2π (π+π)-j 1/2π (e^(-jπ)-e^jπ )+j 3/4π (e^(-j2π)-e^j2π )

x[0]=2/2π (2π)-j 1/2π (-1+1)+j 3/4π (1-1)

x[0]=2

Para n=1

x[1]=2/2π ∫_(-π)^π▒〖e^jω dω〗-1/2π ∫_(-π)^π▒dω+3/2π ∫_(-π)^π▒〖e^(-jω) □(24&dω)〗

x[1]=2/2π∙1/j ├ e^jω ]_(-π)^π-1/2π∙├ ω]_(-π)^π+3/2π∙1/(-j) ├ e^(-jω) ]_(-π)^π

x[1]=-j 2/2π (e^jπ-e^(-jπ) )-1/2π (π+π)+j 3/4π (e^(-jπ)-e^jπ )

x[1]=-j 2/2π (-1+1)-1/2π (π+π)+j 3/4π (-1+1)

x[1]=1

Para n=2

x[2]=2/2π ∫_(-π)^π▒〖e^j2ω dω〗-1/2π ∫_(-π)^π▒〖e^jω dω〗+3/2π ∫_(-π)^π▒□(24&dω)

x[2]=2/2π∙1/2j ├ e^j3ω ]_(-π)^π-1/2π∙1/j ├ e^jω ]_(-π)^π+3/2π ├ ω]_(-π)^π

x[2]=-j 2/4π (e^j2π-e^(-j2π) )+j 1/2π (e^jπ-e^(-jπ) )+j 3/2π (π+π)

x[2]=-j 2/4π (1-1)-1/2π (-1+1)+j 3/2π (π+π)

x[2]=3

Por tanto, la señal recuperada es

x[n]=[2 1 3]

ACTIVIDAD PRÁCTICA

La señal x es periódica cada 4 muestras, por lo cual, tomamos a x como

x[n]=[0 1 3 2]

Se hallan los coeficientes de Fourier mediante una función

...