Sistema Sexagesimal

Sistema Sexagesimal

Este sistema de medir ángulos es el que has empleado durante tus primeros estudios; en él, la circunferencia se ha dividido en 360 partes iguales llamadas grados, el grado en 60 partes iguales llamadas minutos y el minuto en 60 partes iguales llamadas segundos. Así,

Un grado sexagesimal es la medida del ángulo central de un círculo,

de amplitud igual a la 360 ava parte del mismo.

Conversión de medidas de ángulos

Un radián se define como la medida de un ángulo central cuyos lados cortan un arco de igual longitud al radio del círculo. Ya que la longitud de este arco es igual a un radio del círculo, se dice que la medida de este ángulo es un radián y equivale a 57.296º.

Como puedes observar, en 360° caben exactamente:

6 radianes completos + 0.283 de radian, es decir: 6.283 radianes:

El uso de radianes en vez de grados ayuda a simplificar muchas fórmulas trigonométricas.

1) Para convertir de grados a radianes, se multiplica por y se divide entre 180º; y se simplifica. Es decir:

2) Para convertir de radianes a grados, se multiplica por 180º y se divide entre ; y se simplifica. Es decir:

Equivalencias entre grados sexagesimales y radianes

Definición de arco

Un arco de circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.

Se suele vincular a cada cuerda el menor arco que delimita.

Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.

Las letras se escriben en sentido antihorario, es decir, en contra de las agujas del reloj.

Longitud de un arco de circunferencia

Sector circular

Sector circular de ángulo θ.

Se denomina sector circular a la porción de círculo comprendida entre un arco de circunferenciay sus respectivos radios delimitadores.

Área

El área de un sector circular depende de dos parámetros, el radio y el ángulo central, y está dada por la siguiente fórmula:

Donde es el radio de la circunferencia y el ángulo que subtiende el arco de circunferencia, expresado en radianes.

O también:

Donde corresponde al ángulo en grados sexagesimales.

Las dos fórmulas anteriores son equivalentes.

UNIDAD 2

 Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

 Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

 Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).

 Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°. El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Oblicuángulos

Clasificación según los lados y los ángulos

Los triángulos acutángulos pueden ser:

 Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

 Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.

 Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

Los triángulos rectángulos pueden ser:

 Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

 Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

 Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.

 Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

Triángulo equilátero

isósceles

escaleno

acutángulo

rectángulo

obtusángulo

Teorema del seno

Teorema del seno.

En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.

Usualmente se presenta de la siguiente forma:

Teorema del seno

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces

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Demostración

A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida (aunque muy elegante).

El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferenciacircunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene undiámetro BP.

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos Ay P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:

Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si Rdenota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:

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