TEORIA DE LOS CONJUNTOS, DIAGRAMA DE VEN

TEORIA DE CONJUNTOS

Definiciones:

1.- Conjunto: es una lista, clase o colección de objetos bien definidos, objetos que, pueden ser cualesquiera: números, personas, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.

Ejemplos: { 1, 3, 7, 10}

                 {x/x2 -3x –2= 0}

                 { Inglaterra, Francia, Dinamarca}

2.-Subconjunto: A es subconjunto de B si todo elemento de A lo es también de B.

Notación: A⊂B ⇔ ∀x ∈A⇒ x∈B

Ejemplo:

              El conjunto C = {1,3,5} es un subconjunto del D = {5,4,3,2,1} ya que todo elemento de C pertenece al conjunto D.

3.- Conjunto Universal: es aquel conjunto que no puede ser considerado un subconjunto de otro conjunto, excepto de si mismo. Todo conjunto se debe considerar un subconjunto del Conjunto Universal.

Notación: U

Ejemplo:

                 A = {1,3,5}         B = {2,4,6,8}

                 U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

4.- Conjunto Potencia: se denomina conjunto potencia  de A,  P(A), a la familia de todos los subconjuntos del conjunto A. Sí el conjunto A tiene n elementos, el conjunto potencia de A tendrá 2n elementos.

Notación:  

Ejemplo:  

                 A = {3,4,5}

 P(A)= 23 = 8, lo que significa que pueden formarse 8 subconjunto de A.

 P(A)= { {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {3,4,5}, φ }.

5.- Conjunto Vacío: es aquel que no posee elementos y es subconjunto de cualquier otro conjunto.

Notación:  φ = { x / x ≠ x }

Ejemplo:

                  B= {x/x2 = 4, x es impar}. B es entonces un conjunto vacío.

6.-Diagrama de Venn:  Los diagramas de venn permiten visualizar gráficamente las nociones conjuntistas y se representan mediante círculos inscritos en un rectángulo. Los círculos corresponden a los conjuntos dados y el rectángulo al conjunto universal.

Ejemplo:

              A ⊂ B

[pic 1][pic 2][pic 3]

[pic 4][pic 5][pic 6]

 [pic 7][pic 8]

7.-Conjuntos Finitos o Infinitos:   Los conjuntos serán finitos o infinitos, si sus elementos son o no factibles de contar.

Ejemplo:

                  M= {a,e,i,o,u}, M es finito.

                  N={1,3,5,7...},  N es infinito.

8.- Conjuntos disjuntos:  Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes.

Gráficamente:

[pic 9]

[pic 10][pic 11]

Ejemplo:

               A= {1,3,8}, B={2,4,9}; A y B son conjuntos disjuntos.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

1.-Unión de conjuntos:  La unión de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B.

Notación:  A∪B= {x/x∈A∨ x∈B}

Gráficamente:

[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

[pic 20]

Ejemplo

                  A={3,4,5,8,9}              B={5,7,8,9,10}

                  A∪B={3,4,5,7,8,9,10}

2.- Intersección de conjuntos:  La intersección de dos conjuntos A y B, es un conjuntos cuyos elementos son comunes a  A y B.

Notación:  A ∩ B= {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}

Gráficamente:

[pic 21][pic 22][pic 23]

[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

[pic 33][pic 34][pic 35]

Ejemplo:

              A={7,8,9,10,11,12}           B={5,6,9,11,13,14}

A ∩ B={9, 11}

3.-Complemento:  El complemento de un conjunto A, son todos los elementos que no están en el conjunto A

y que están en el universo.

Notación:   Ac  = {x / x ∈U ∧ x ∉A}

                  Ac  = U -  A

Gráficamente:

[pic 36][pic 37]

Ejemplo:[pic 38]

                 U= {1,2,3,...10} y A={ 3,4,6,7}

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