Teoria De Conjuntos

Conjunto infinito En teoría de conjuntos, un conjunto infinito es un conjunto que no es finito. Algunos ejemplos son:

• Los números enteros Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} forman un conjunto infinito y numerable.

• Los puntos en una recta, representados por un número real, forman un conjunto infinito y no numerable.

Un conjunto finito A es aquel que puede ponerse en correspondencia biunívoca con un conjunto del tipo {1, 2, 3, ..., n}, donde n es un número natural. Esto significa que podemos emparejar los elementos de A y los de {1, 2, 3, ..., n} sin que sobre ninguno. Si un conjunto no verifica esto entonces es infinito:

Un conjunto infinito es un conjunto que no puede ponerse en correspondencia biunívoca con ningún conjunto {1, 2, 3, ..., n} para ningún número natural n.

Los conjuntos infinitos poseen las siguientes propiedades:

• La unión de dos o más (incluso una cantidad infinita) de conjuntos infinitos es un conjunto infinito.

• Cualquier conjunto que contenga un conjunto infinito es infinito a su vez.

• El conjunto potencia de un conjunto infinito es infinito a su vez.

El cardinal de un conjunto finito es un número natural, y cualquiera de sus subconjuntos es finito y con menor número de elementos. A los conjuntos infinitos les ocurre lo contrario:

Un conjunto infinito A tiene subconjuntos propios S tales que S y A pueden ponerse en correspondencia biyectiva.

En realidad esta propiedad depende de los axiomas que se asuman para los conjuntos (véase más abajo).

Aunque ningún número natural se corresponde con el número de elementos de un conjunto infinito, se pueden "contar" la cantidad de dichos elementos usando números transfinitos. Puede entenderse entonces que los conjuntos infinitos "más pequeños" son los conjuntos numerables, como el conjunto de los números naturales Conjunto finito En matemática, un conjunto finito es un conjunto que tiene un número finito de elementos. Por ejemplo {2, 4, 6, 8, 10} es un conjunto finito con cinco elementos. La cardinalidad o número de elementos de un conjunto finito es igual a un número natural.

Si un conjunto no es finito, entonces es infinito. Por ejemplo, el conjunto N = {1, 2, 3, ...} de los números naturales es infinito. Todo conjunto finito es un conjunto numerable, puesto que sus elementos pueden contarse, pero la recíproca es falsa: existen conjuntos infinitos y numerables (como el propio N).

Los conjuntos finitos son particularmente importantes en combinatoria. Un conjunto finito A es un conjunto cuyo número de elementos es un número natural. Esto significa:

Un conjunto finito A es aquel que puede ponerse en correspondencia biunívoca con el conjunto {1, 2, ...,

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