Teoria De Conjuntos

NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a  A.

En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A.

Ejemplos de conjuntos:

o  : el conjunto vacío, que carece de elementos.

o N: el conjunto de los números naturales.

o Z: el conjunto de los números enteros.

o Q : el conjunto de los números racionales.

o R: el conjunto de los números reales.

o C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto:

o por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.

o por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión,

o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:

o A := {1,2,3, ... ,n}

o B := {p Z | p es par}

Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B),

y se denota A  B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a  A  a  B.

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A  B y B  A;

esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).

Para cualquier conjunto A se verifica que  A y A  A;

B  A es un subconjunto propio de A si A   y B  A.

El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota  (A).

Entonces, la relación B  A es equivalente a decir B   (A). Ejemplos:

Si A = {a,b} entonces  (A) = { ,{a},{b},A}.

Si a  A entonces {a}  (A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:

o  ' = U .

o U ' = .

o (A')' = A .

o A  B  B'  A' .

o Si A = { x  U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x  U | p(x) es una proposición falsa}.

CONJUNTOS DISJUNTOS

Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos.

Conjuntos disjuntos Conjuntos no disjuntos

A = { 2, 4, 6 } M = { o, p, q, r, s }

B = { 1, 3, 5 } N = { s, t, v, u }

A y B son disjuntos. M y N no son disjuntos.

C = { x/x es una letra del alfabeto } P = { x/x es una letra de la palabra aritmética }

D = { x/x es un número } Q = { x/x es una letra de la palabra algebra }

C y D son disjuntos P y Q no son disjuntos

OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNION DE CONJUNTOS

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:

A U B = {x / x A o x B}

En forma gráfica:

Cuando no tienen Cuando tienen algunos Cuando todos los elementos de un

elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto conocido también como de inclusión.

1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8}, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A U C b) B U C c) A U B

Tenemos:

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }

A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }

Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C

b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }

B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }

Representación gráfica de la unión de conjuntos B y C

c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }

A U B = { , 1, , 3, , 5 }

Representación gráfica de la unión de

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