Teorias De Conjunto

TEORIA DE CONJUNTOS

Permite visualizar las intersecciones que puedan existir entre las partes que conforman un problema, así como cada parte con el todo. Es un instrumento esencial para el desarrollo de la capacidad de análisis.

CONJUNTOS:

La palabra conjunto es una colección de objetos cuyas propiedades o características están claramente definidas. Cada objeto que forma parte de un conjunto se llama elemento.

Es una colección de objetos considerados como una simple unidad. Los objetos que determinan un conjunto se denominan elementos del conjunto. Los conjuntos pueden denotarse con letras mayúsculas como A, B, C,…y los elementos con letras minúsculas como a, b, c,… o con números separados por comas y encerrados entre dos llaves. Así por ejemplo: el conjunto “A” formando por las vocales, la podemos escribir: A: {a, e, i, o, u} y un conjunto “B” cuyos elementos son los tres números impares lo denotamos B = {1, 3,5}.

CONJUNTO DE NUMEROS NATURALES

Es el conjunto de los símbolos que se utilizan para representar los cardinales (principales), y se designan con la letra “N”, siendo su conjunto infinito porque no tiene ultimo termino. Los números naturales se pueden usar para contar o medir (2 sillas, 3 metros), es decir, para expresar cantidades, y en ese caso se denominan Cardinales. Si, en cambio, se usan para describir la posición o el orden de un determinado elemento en relación con otros en una secuencia ordenada, se llaman Ordinales.

Cuando se dice: <<Vivo en el tercer piso>>, se esta utilizando un numero Ordinal.

• Ejemplo:

Los números Naturales, se puede representar mediante una recta numérica.

U

0 1 2 3 4 5….

N* = {1,2,3,4,5…} Conjunto de los números naturales, excluido el cero.

N = {0,1,2,3,4,5,6…} Conjunto de los números naturales, incluido el cero.

CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS

Esta formado por los números naturales y los números negativos. Se simboliza con la letra “Z”.

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros:

• Es un conjunto infinito

• No tiene ni primero ni ultimo elemento

• Cada número tiene su opuesto. Por ejemplo, el opuesto de + 2 es - 2.

• Si un numero esta a la derecha de otro en la recta numérica, entonces es mayor que el.

• Ejemplo:

2 = {…,-2,-1,o,1,2,3,…} Conjunto de números enteros.

Z+ = {0,1,2,3,4,5,…} Conjunto de los enteros positivos.

Z- = {…-4,-3,-2,-1} Conjunto de los números enteros negativos.

NUMEROS ENTEROS POSITIVOS

Los números naturales, que se escriben con un signo <<+>>delante (excepto el cero), Z se llaman números enteros positivos. Por ejemplo, el numero +6 es un entero positivo; se puede representar como 6 o como +6. Los números naturales precedidos de un signo <<->> se llaman números enteros negativos. En este caso, dado que representan una cantidad que no se tiene, necesariamente se debe anteponer el signo -. Por ejemplo, el número -6 es Nº negativo. El “0” es el único numero entero que no es positivo ni negativo.

CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES

Esta formado por los números enteros y los números fraccionarios. Se simbolizan con la letra “Q”.

PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES

• Es un conjunto infinito.

• No tiene ni primero ni último elemento.

• Todo número racional ya sea entero o fraccionario se puede expresar con infinitas fracciones equivalentes.

Se define de la siguiente manera:

• Ejemplo:

Q = {a/b,b"0} Conjunto de los números racionales para b"0

CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES

Tipo de números que no se pueden expresar de manera sencilla como el cociente de los números. Algunos ejemplos son "2 y .

LOS NUMEROS IRRACIONALES

Se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no se repiten nunca, es decir, no periódicas. Por ello no pueden ser expresados en forma de fracción de dos enteros. Algunos números irracionales son identificados mediante símbolos.

• Por Ejemplo:

= 3,1415926535914039…

e = 2,71828…

CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES

Es el conjunto de los números (racionales o irracionales) que puedan medir longitudes, junto con sus inversos aditivos y el cero. Se llama real a un número que puede ser racional o irracional. Por lo tanto, el conjunto de los números reales es la unión del conjuntote los números racionales y el conjunto de los números irracionales. Se designa con el símbolo “R”.

PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES

• El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que corresponden a los puntos de la recta.

• El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que pueden expresarse con decimales finitos o infinitos periódicos o no periódicos.

• El conjunto de los números reales se representa por la letra “R”.

RECTA DE LOS NUMEROS REALES O RECTA REAL

-4,2426 -3,1416 "18

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Ejemplo de representación de números reales en la recta real.

INTERVALOS DE NÚMEROS REALES

Un intervalo de números reales es un subconjunto de R, que tiene la siguiente propiedad: dados dos números a y b en el intervalo, todos los números comprendidos entre a y b también pertenecen al intervalo. Gráficamente, un intervalo se identifica en la recta real con un segmento o una semirrecta,

con o sin sus extremos, o con toda la recta real.

• Ejemplo:

{x | 2 " x " 8}

Es un intervalo, que se representa en la recta real como un segmento con extremos 2 y 8.

• Ejemplo:

{x | x > "5}

Es un intervalo, que se representa en la recta real como una semirrecta, con origen en -5, sin contar este extremo. Para los intervalos se utiliza una notación especifica, y se los clasifica además en intervalos cerrados, abiertos y semiabiertos.

El intervalo cerrado [a, b], con a y b números reales, es el subconjunto de R definido como

[a, b] = {x | a " x " b}.

En particular, a y b son elementos de [a, b].

El intervalo abierto (a, b), con a y b números reales, es el subconjunto de R definido como

(a, b) = {x | a < x < b}.

En este caso, a y b no son elementos de (a, b).

Los subconjuntos de la forma {x | x > a} y {x | x < a}, también se llaman intervalos abiertos, y para estos se utiliza la notación (a, ") y ("", a), respectivamente. Al símbolo " se lo denomina símbolo

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