TIPOS DE DISTRIBUCIONES

UNIDAD 3. TIPOS DE DISTRIBUCIONES VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS.

3.1 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

Muchos problemas estadísticos se ocupan de situaciones conocidas como ensayos repetidos. Por ejemplo, quizá deseamos conocer la probabilidad de que 1 de 5 remaches se rompa en una prueba de resistencia a la tensión, la probabilidad de que 9 de 10 DVDs funcionen durante al menos 1 000 horas, etc. Para atenernos al vocabulario de los juegos de azar, podríamos decir que en cada uno de estos ejemplos nos interesa la probabilidad de obtener “x” éxitos en “n” ensayos, o en otras palabras, “x” éxitos y “n-x” fracasos en “n” intentos.

La distribución binomial, es una distribución discreta de probabilidad aplicable como modelo a diversas situaciones de toma de decisiones, siempre y cuando pueda suponerse que el proceso de muestreo se ajusta a un proceso Bernoulli, un proceso Bernoulli es un proceso de muestreo en el que:

1. Hay solo dos resultados posibles para cada ensayo ( arbitrariamente llamados éxito y fracaso”, sin inferir que un éxito sea necesariamente deseable)

2. La probabilidad de un éxito es la misma para cada ensayo.

3. Hay “n” ensayos, donde “n” es una constante.

4. Los “n” ensayos son independientes.

Puede utilizarse la distribución binomial para determinar la probabilidad de obtener un número determinado de éxitos en un proceso Bernoulli, para ello se requieren valores de:

x= Es el número específico de éxitos.

n= Es el número de ensayos u observaciones.

p= Es la probabilidad de éxito en cada uno de los ensayos.

q= 1- p= Es la probabilidad del fracaso en cada uno de los ensayos.

La fórmula para determinar la probabilidad de un número determinado de éxitos “x” para una distribución binomial es:

O bien

Ejemplos:

1. La probabilidad de que un prospecto de ventas elegido al azar realice una compra es de 0.20. Si un vendedor visita a 6 prospectos, ¿Cuál es la probabilidad de que realice exactamente 4 ventas?

Solución:

p= 0.20

q= 1-p= 1- 0.20= 0.80

n= 6

x= 4

2. En relación con el ejemplo anterior, ¿Cuál es la probabilidad de que el vendedor logre 4 o más ventas?

Solución:

p= 0.20

q= 0.80

n= 6

x= 4, 5. 6

3. Si la probabilidad de que un prospecto de ventas elegido al azar realice una compra es de 0.20, ¿cuál es la probabilidad de que un vendedor que visita a 15 prospectos realice menos de 3 ventas?

Solución:

p= 0.20

q= 0.80

n= 15

x= 2, 1, 0.

4. Debido a las elevadas tasas de interés, una empresa reporta que el 30% de sus cuentas por cobrar de otras empresas están vencidas. Si un contador toma una muestra aleatoria de 5 de esas cuentas, determine la probabilidad de:

a) Que ninguna de las cuentas esté vencida.

b) Que exactamente 2 cuentas estén vencidas.

c) Que la mayor parte de las cuentas estén vencidas.

d) Que exactamente el 20% de las cuentas esté vencida.

Solución:

p= 30% = 0.3

q= 0.7

n= 5

a) x= 0

b) x= 2

c) x= 3, 4, 5.

d) x= 20%= 1

Ejercicios:

1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6 lanzamientos de una moneda?

Solución:

2. Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda 3 veces resulten:

a) 3 caras

b) 2 sellos

c) al menos 1 cara

d) no más de un sello

Solución:

3. La probabilidad de que una cierta clase de componente pase con éxito una determinada prueba de impacto es ¾, encuentre la probabilidad de que exactamente 2 de los siguientes 4 componentes que se prueban pasen la prueba.

Solución:

4. Se argumenta que en el 60% de las instalaciones de calefacción solar la cuenta por concepto del servicio público se reduce en al menos 1/3. En consonancia con ello. ¿Cuáles son las probabilidades de que la cuenta de servicio se reduzca en al menos un tercio en:

a) 4 de 5 instalaciones

b) Al menos 4 de 5 instalaciones

Solución:

5. Si la probabilidad de que cierta columna de acero caiga bajo una carga axial dada es de 0.05, ¿qué probabilidad hay de que entre 16 columnas de ese tipo:

a) Caigan cuando más 2.

b) Caigan al menos 4.

Solución:

3.2 DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

Llamada así en honor de Simeón Denis Poisson, probabilista Francés del siglo XIX, quien fue el primero en describirla, es otra distribución discreta de probabilidad muy útil en la que la variable aleatoria representa el número de eventos independientes que ocurren a una velocidad constante en el tiempo o en el espacio. El intervalo de tiempo dado puede ser de cualquier duración, por ejemplo un minuto, un día, una semana, un mes o inclusive un año. Algunos ejemplos típicos son: El número de llamadas telefónicas por hora que se reciben en una oficina, el número de personas que llegan a una tienda de autoservicio en un tiempo determinado, el número de defectos en piezas similares por segundo para el material, etc. De hecho la distribución de Poisson es el principal modelo de probabilidad empleado para analizar problemas de líneas de espera.

Puede utilizarse la distribución de Poisson para determinar la probabilidad de que ocurra un número designado de eventos, cuando estos ocurren en un continuo de tiempo o espacio.

La fórmula para determinar la probabilidad de un determinado de éxitos “N” en una distribución

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