Teorema De Fermat

El ultimo teorema de Fermat:

Poco después de 1630, en una página de la Aritmética de Diofanto, Fermat anotó: “No es posible que una potencia mayor que dos sea suma de dos potencias del mismo tipo. Tengo una demostración que no cabe en los estrechos márgenes de este libro.” En 1994 Wiles lo probó con técnicas sofisticadas y no recibió la medalla Fields por haber cumplido cuarenta años. De este resultado, llamado el último teorema de Fermat (UTF), Singh afirma en el libro El Enigma de Fermat que es el mayor problema matemático. Ni Euler ni Taniyama, entre otros, pudieron resolverlo.

Fermat escribía notas en el margen de los libros, muchas erróneas, como que 22n+ 1 es un primo, pues 225+ 1 no lo es (Euler, 1732). Sólo publicó una demostración y dudó de su sólo anunciada prueba del UTF. Sus notas y cartas están en la edición de 1630 de la Aritmética de Diofanto, hecha por su hijo Samuel y estudiada por Euler en 1753, quien resolvió muchos problemas propuestos, como el UTF para n=3 y n=4, indicando que al ser las demostraciones tan diferentes no sabía obtener una prueba general.

Euler generalizó el UTF, obteniendo soluciones enteras de a3+b3+c3=d3; pero no pudo descomponer un entero en suma de cuatro cuadrados (Lagrange, 1787), ni encontrar soluciones enteras de a4+b4+c4+d4=e4, afirmando erróneamente que no hay tres bicuadrados cuya suma sea un bicuadrado (26824404+153656394+187967604=206156734, Elkies, 1988).

Euler discutió epistolarmente de física matemática, series, integración y sobre ideas de Fermat con Goldbach durante 35 años, sentando las bases de la Teoría Analítica de Números. Golbach dejó la aún conjetura de que cada par es diferencia de dos primos.

Gauss sistematizó la Teoría de Números en su obra Disquisiciones Arithmeticae (1801) y en carta póstuma esbozó una prueba del UTF para el caso n=5, e indicó que era aplicable al caso n=7 (1863). Mantuvo correspondencia con Sophie Germain, quien probó que si n y 2n+1 son primos y xn+yn=zn, uno de los números x, y o z es divisible por n. Así redujo la prueba del UTF a los casos de que ninguno o sólo uno de los números x, y y z fuese divisible por n.

En el caso primero, Germain probó el UTF para n<100 y Legendre hasta n=197. El segundo caso se probó para n=5 (Legendre y Dirichlet, 1825), n=14 (Dirichlet, 1832) y n=7 (Lamé, 1839). Discutieron sistemáticamente sobre el UTF Cauchy, Liouville y el mismo Lamé, quien en marzo de 1847 presentó una posible vía para resolver el UTF, con una idea de Liouville sobre la descomposición de xn+yn , suponiendo la unicidad de esa descomposición, hipótesis invalidada por Kummer en 1847. Para preservar la unicidad, Kummer definió los números complejos ideales y losprimos regulares. Probó el UTF para exponentes primos regulares, recibió el Gran Premio de la Academia de París (1858) y creyó que había resuelto el UTF para infinitos casos. Recientemente se probó que hay infinitos números primos regulares. Desde 1915 era conocida la existencia de infinitos primos no regulares (K. L. Jensen).

Las ideas de Kummer, sistematizadas algorítmicamente por Kronecker y conceptualmente por Dedekind, originaron la teoría algebraica de los números y el álgebra conmutativa (siglo XX). Dedekind buscó ideas puras, pues deseaba reducir los cálculos y maximizar el pensamiento planeado (Minkowski).

Vandiver no siguió esta tendencia y publicó desde 1924 artículos que probaron el UTF para exponentes primos menores que 619. Obtuvo en 1929 el premio Cole de la A.M.S. Con Emma y Derrick Lehmer y una computadora demostró el UTF para exponentes menores o iguales que 2500 (1954). Nuestros ordenadores permiten probar el UTF para los primeros mil millones de valores del exponente, si bien la prueba general llegó conceptualmente con Andrew Wiles, quien se interesó por el UTF en su niñez con el libro El último problema de Bell.

Alrededor de 1950 surgió la conjetura de Taniyama –Shimura– Weil (TSW). En 1985 Gunther Frey dijo que su validezen ciertos casos, implica el UTF, afirmación probada por Kenneth Ribet ese año. Wiles conoció la prueba de Ribet en 1986 y se dedicó por completo hasta 1993 a probar la indicada validez de TSW, expuesta en su famosa conferencia en Cambridge, tras ocho años de solitaria reclusión. Se descubrió un error que le obligó a dedicar otros ocho meses a su prueba, en colaboración con Richard Taylor.

Conjetura goldbach:

Pero intentemos empezar por el principio de esta historia, por su autor Christian Goldbach (1690-1764) y las conjeturas que llevan su nombre (la fuerte y la débil). Este matemático nació en la prusiana ciudad de Königsberg (actualmente Kaliningrado, perteneciente a Rusia) en 1690. Viajó mucho por Europa y conoció a matemáticos como Gottfried W. Leibniz, Leonhard Euler o Daniel Bernoulli. En 1725 se fue a trabajar de historiador y profesor de matemáticas a la recién creada Academia de las Ciencias de San Petersburgo, y 3 años más tarde se iría a Moscú para ser tutor de Pedro II de Rusia. Allí moriría en 1764, a la edad de 74 años.

La formulación de la llamada conjetura de Goldbach se gestó en la correspondencia entre el propio Goldbach y su amigo, el gran matemático suizo Leonhard Euler. En una carta de Goldbach a Euler, del 7 de junio de 1742, el autor de la misma le plantea una conjetura relacionada con los números primos, que simplificándola podría expresarse como que “todo número que se puede representar como suma de dos números primos, entonces se puede representar como suma de tres números primos.”

Así vemos que

6 = 3 + 3 = 2 + 2 + 2

7 = 5 + 2 = 3 + 2 + 2

8 = 5 + 3 = 3 + 3 + 2

9 = 7 + 2 = 5 + 2 +2 = 3 + 3 + 3

10 = 7 + 3 = 5 + 5 = 5 + 3 + 2

11 = 7 + 2 +2 = 5 + 3 + 3

y de paso, observamos que 11 no se puede escribir como suma de dos números primos, aunque sí de tres números primos. Luego, dos preguntas interesantes que rápidamente se nos ocurren relacionadas con esto serían ¿qué números se pueden escribir como suma de dos números primos? y ¿pueden todos los números ser escritos como suma de tres números primos?

En su respuesta, Euler le contesta que la conjetura de su carta sería cierta –y él tiene una demostración sencilla- si fuese cierta la observación que Goldbach le había hecho en una carta anterior “todo número par mayor que dos puede escribirse como suma de dos números primos” (¡y ahí tenemos la conjetura!)

Este fue el punto de inicio de lo que se ha dado en llamar la conjetura de Goldbach (o también la conjetura fuerte de Goldbach). Siendo la conjetura débil de Goldbach… “todo número mayor que cinco puede escribirse como suma de tres

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