Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 1763 e1 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Sea \{A_1, A_2, ..., A_i, ..., A_n\} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | A_i). Entonces, la probabilidad P(A_i | B) viene dada por la expresión:

P(A_i|B) = \frac{P(B | A_i) P(A_i)}{P(B)}

donde:

P(A_i) son las probabilidades a priori.

P(B|A_i) es la probabilidad de B en la hipótesis A_i.

P(A_i|B) son las probabilidades a posteriori.

Thomas Bayes (1763)

Fórmula de Bayes[editar]

Con base en la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:

P(A_i|B) = \frac{P(B | A_i) P(A_i)}{\sum_{k=1}^n P(B | A_k) P(A_k)}

Aplicaciones

El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.

Como observación, se tiene \sum_{i=1}^{n}P(A_i |B)=1 y su demostración resulta trivial.

Probabilidad total

entonces, la probabilidad del evento B, llamada probabilidad total, se calcula empleando la siguiente fórmula:

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información. Desarrollado por el reverendo Thomas Bayes en el siglo XVII, el teorema de Bayes es una extensión de lo que ha aprendido hasta ahora acerca de la probabilidad condicional.

Comúnmente se inicia un análisis de probabilidades con una asignación inicial, probabilidad a priori. Cuando se tiene alguna información adicional se procede a calcular las probabilidades revisadas o a posteriori. El teorema de Bayes permite calcular las probabilidades a posteriori y es:

Ejemplos ilustrativos

1) Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una ciudad, de forma que el 45% de los autobuses cubre el servicio de la línea 1, el 25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea 3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y 1% respectivamente, para cada línea.

a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería

b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería

c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?

Solución:

a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería

Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:

b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería

Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:

c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?

Se debe calcular las tres probabilidades aposteriori empleando el Teorema de Bayes

La probabilidad de que sea de la línea 1, sabiendo que sufre una avería es:

La probabilidad de que sea de la línea 2, sabiendo que sufre una avería es:

La probabilidad de que sea de la línea 3, sabiendo que sufre una avería es:

Entonces, sabiendo que el autobús sufre una avería, lo más probable es que sea de la línea 1, ya que esta probabilidad

, es la mayor.

Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:

2) Una empresa dedicada a la comercialización de televisores está considerando comercializar un nuevo televisor. En el pasado el 90% de los televisores que comercializó tuvieron éxito y el 10% no fueron exitosos. Se sabe que la probabilidad que habría recibido un reporte favorable de investigación fue del 85% y 35%, respectivamente.

Solución:

a) Escribir la simbología del problema

A1 = Televisores exitosos

A2 = Televisores no exitosos

B1 = Reporte favorable de investigación

B2 = Reporte

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