Teorema De Bayes

Teorema de Bayes

La regla de Bayes es solo una técnica para calcular probabilidades condicionales, y como regla de probabilidad es indiscutible así como su validez. A partir de un conjunto de probabilidades llamadas "a priori" o "sin corregir", calcula un conjunto de probabilidades "a posteriori" o "corregidas" que no son mas que una modificación de las primeras ante la evidencia de que un determinado suceso ha ocurrido La fórmula de Bayes sirve para el cálculo de las probabilidades conocidas P(A/B), en donde los sucesos A de un sistema completo {A1, A2,«, An}n} de sucesos con respecto un suceso B de probabilidad Positiva (k=1, 2,«, n), a partir de las probabilidades P(Ai ) y de las probabilidades conocidas (P/Ai) (i=1,2,«, n). [2]

Comúnmente se inicia un análisis de probabilidades con una asignación inicial, probabilidad a priori. Cuando se tiene alguna información adicional se procede a calcular las probabilidades revisadas o a posteriori. El teorema de Bayes permite calcular las probabilidades a posteriori y es:

El comportamiento de este análisis en donde se encuentran un conjunto de probabilidades A y las intersecciones que hay entre ellas teniendo en cuenta un punto central B, se puede observar a continuación en la figura 1

Entonces la fórmula para la ley de Bayes sería la siguiente

En forma más general y simplificada y haciendo uso de la notación de la referencia [2], en donde

K es igual a i en la referencia [3], siendo en este caso i un signo para la sumatoria, la formula queda de la siguiente manera:

Teniendo en cuenta lo anterior se hace un poco confuso como funciona este teorema, es por ello que a continuación se mostraran dos ejemplos muy sencillos de cómo se debe utilizar la formula en determinado caso, además se hace necesario la utilización del diagrama de árbol (el cual no se explica en este documento ya que se asume que hay un conocimiento previo de este)

Ejemplo 1

Tenemos tres urnas:

A con 3 bolas rojas y 5 negras,

B con 2 bolas rojas y 1 negra y

C con 2 bolas rojas y 3negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?

Solución

Llamamos R= "sacar bola roja “Y N = "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos

R o N para cada una de las tres urnas

La probabilidad pedida es P(A/R) Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

Ejemplo 2

El 20% de los empleados de una empresa son

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