Teorema de Slutsky

Teorema de Slutsky

En teoría de la probabilidad, el teorema de Slutsky extiende algunas propiedades de operaciones algebraicas sobre sucesiones convergentes de números reales a sucesiones de variables aleatorias.

El teorema lleva el nombre de Slutsky que sostiene: "si un dato estadístico converge seguramente o en la probabilidad de una constante, entonces cualquier función continua de ese dato estadístico también converge en la misma forma para alguna función de esa constante", teorema de gran aplicación en estadística y econometría presentado en 1925.

Estudia los cambios en la demanda debidos a la variación del precio de un bien garantizándole al individuo poder adquirir la de consumo elegida antes de dicha variación

Sean {Xn}, {Yn} sucesiones de variables aleatorias.

Si Xn converge en distribución a una variable aleatoria X; e Yn converge en probabilidad a una constante c, entonces

Siempre que c ≠ 0, donde denota convergencia en distribución.

En el enunciado del teorema, la condición “Yn converge en probabilidad a una constante c” puede ser reemplazada con “Yn converge en distribución a una constante c” — estas dos condiciones son equivalentes debido a propiedades de la convergencia de variables aleatorias.

La condición Yn converge a una constante es importante — si convergiera a una variable aleatoria no degenerada, el teorema podría no ser válido.

El teorema sigue siendo válido si se reemplaza, en todos los casos, convergencia en distribución por convergencia en probabilidad debido a propiedades de la convergencia de variables aleatorias.

Este teorema se deduce del hecho de que si Xn converge en distribución a X e Yn converge en probabilidad a una constante c, entonces el vector (Xn, Yn) converge en distribución a (X, c). Luego, se aplica el teorema de la aplicación continua, considerando las funciones g(x,y)=x+y, g(x,y)=xy, y g(x,y)=x−1y como continuas (para que la última función sea continua, x debe ser invertible).

APLICACIÓN DEL TEOREMA

Para una función continua g(xn) que no es una función de n se tiene:

plim g(xn)=g(plim xn)

Reglas de la Probabilidad Límite

Estas son simplemente aplicaciones del teorema de Slutsky

a) Escalares

Si xn e yn son variables aleatorias con plim xn=c y plim yn=d, entonces:

plim(xn+ yn)=c + d regla de la suma

plim(xnyn)=c d regla del producto

plim (xn/xy)= c/d regla de la división (con d≠0)

Supongamos que la media y varianza muestral del conjunto de variables aleatorias i.i.d X1, … , Xn con las esperanza y varianza poblacional μ y σ2 respetivamente con estimadores consistentes. Esto es.

Entonces por el teorema de Slutsky:

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