Trabajo Colaborativo 1 - Cálculo Diferencial

INTRODUCCIÓN

En el trabajo colaborativo N.1, se profundizarán los temas vistos en la unidad uno como las sucesiones y progresiones aritméticas, los cuales facilitaran al aprendizaje de los temas propuestos mediante procedimientos estratégicos, práctica y retroalimentación de los mismos.

El desarrollo de esta actividad incita a la investigación de los diferentes temas.

FASE 1

1. Hallar los 6 primeros términos de la siguiente sucesión

a. Un = (n -1)n-2

Un(1) = 2 = (2 – 1)2-2 = (1)0 = 1

Un(2) = 3 = (3 – 1)3-2 = (2)1 = 2

Un(3) = 4 = (4 – 1)4-2 = (3)2 = 9

Un(4) = 5 = (5 – 1)5-2 = (4)3 = 64

Un(5) = 6 = (6 – 1)6-2 = (5)4 = 625

Un(6) = 7 = (7 – 1)7-2 = (6)5 = 7776

b. Vn = 3n _

n + 1 n > 1

Vn = 1 = 3(1) = 3

1+1 2

Vn= 2 = 3(2) = 6 = 2

2+1 3

Vn=3 = 3(3) = 9

3+1 4

Vn=4 = 3(4) = 12

4+1 5

Vn=5 = 3(5) = 15

5+1 6

Vn=6 = 3(6) = 18

6+1 7

2. Identificar el término general dados el primer término y la relación de recurrencia

a. U0 = -1

Un = Un -1 – 3

U1 = U0 -3 = - 1 - 3 = - 4

U2 = U1 -3 = - 4 - 3 = - 7

Los primeros términos son (-1, - 4, - 7, ….)

Hallando el término general:

U0 = - 1- (3*0) = - 1

U1 = - 1- (3*1) = - 4

U2 = - 1- (3*2) = - 7

b. U0 = - 1

Un = Un-1

3

U1 = U0 = -1

3 3

U2 = U1 = (-1/3) = -1

3 3 9

U3 = U2 = (-1/9) = -1

3 3 27

Los primeros términos son (-1/3, -1/9, -1/27, ….)

Hallando el término general:

U0 = U0 = -1 = -1

30 0

U1 = -1 = -1

31 3

U2 = -1 = -1

32 9

U3 = -1 = -1

33 27

3. Sucesiones monótonas. Demostrar que Wn = n es estrictamente

2n +1

creciente

Wn = n

2n +1

Aplicando la fórmula Un+1 – Un > 0 tenemos

Wn = n + 1 - n =

2(n+1) + 1 2n + 1

Wn = n + 1 - n =

2n+2 + 1 2n + 1

Wn = n + 1 - n =

2n+3 2n + 1

Wn = 2n2 + 2n + n + 1 - 2n2 - 3 n = 1

(2n+3)(2n + 1) (2n+3)(2n + 1)

4. Demostrar que es Xn = 1 estrictamente decreciente

n2

Xn = 1 aplicando la fórmula Un+1 – Un < 0

n2

Xn = 1 - 1 =

(n+1)2 n2

Xn = 1 - 1 =

(n2+1) n2

Xn = n2 - n2 - 1 = - 1

(n2+1)(n2) (n2+1)(n2)

5. Sucesiones acotadas

Hallar la mínima cota superior de la sucesión Vn = 2n + 1

n n>1

Vn=1 = 2(1)+1 = 3

1 n>1

Vn=2 = 2(2)+1 = 5

2 n>1 2

Vn=3 = 2(3)+1 = 7

3 n>1 3

Vn = (3, 5/2, 7/3….)

FASE 2

6. Determinar si es acotada y hallar la cota superior e inferior

Vn = n2

1+ 3n2 n> 2

Vn=2 = (2)2 = 4

1+ 3(2)2 n> 2 13

Vn=3 = (3)2 = 9

1+ 3(3)2 n> 2 28

Vn=4 = (4)2 = 16

1+ 3(4)2 n> 2 49

7. Determinar las cotas superior e inferior de Yn = n

2n n> 1

Yn= 1 = 1 = 1

21 2

Yn= 2

...