Trabajo Colaborativo

CALCULO DIFERENCIAL

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA YA A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS SOCIALES, ARTES Y HUMANIDADES

PROGRAMA: INGENIERIA AMBIENTAL

GRUPO: 102058_261

ACTIVIDAD 6: TRABAJO COLABORATIVO 1

PRESENTADO POR:

MARIA LOURDES GRACIA

CÓDIGO: 1125471720

TUTOR: MARTIN GOMEZ HORDUZ

CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ

BOGOTA

2013

4. Hallar la solucion particular para la siguiente ecuación diferencial:

f^'' (x)=sinx,f^' (0)=1,f(0)=6

RTA:

∫▒∫▒〖sin⁡(x)dx〗=∫▒〖(-cos⁡(x)+C)dx〗

-sin⁡(x)+Cx+D

Si f’(0)=1

-cos⁡(0)+C=1

-1+C=1

C=2

Si f(0)=6

-sin⁡(0)+2(0)+D=6

D=6

Por tanto,

F(x)=-sin⁡(x)+2x+6

f(x)=sin⁡(x)+4x+12 f(x)=cos⁡(x)+2x+6

f(x)=-cos⁡(x)+4x12 f(x)=-sin⁡(x)+2x+6

5. La solucion de la siguiente integral ∫▒〖x/(x^4+x^2+1) dx〗

RTA: Hágase la sustitución u=x^2,2x=du

1/2 ∫▒du/(u^2+u+1)

1/2 ∫▒du/(u^2+u+1/4 +3/4)

∫▒du/((u^2+u+1/4)+3/4)

1/2 ∫▒du/((u+1/2)^2+3/4)

Si W=u + ½, dW=du,

1/2 ∫▒dw/(w^2+(√3/2)^2 )

1/2 (2/√3) arctan⁡(2/√3 w)+C

1/√3 arctan⁡(2(u+1/2)/√3)+C

1/√3 arctan⁡(2(x^2+1/2)/√3)+C

1/√3 arctan⁡((2x^2+1)/√3)+C

1/√3 〖COS〗^(-1) (〖2X〗^2/√3+1/√3)+1 〖COS〗^(-1) (〖2X〗^2/√3+1/√3)+C

1/√3 〖tan〗^(-1) (〖2x〗^2/√3+1/√3)+c 〖sen〗^(-1) (〖2x〗^2/√3+1/√3)+c

Respuesta a la 20 .

Para resolver esta integral, hay que tener en cuenta que:

tan²(x) = sec²(x) - 1

Por lo tanto:

∫ tan³(x) dx = ∫ tan(x) * [sec²(x) - 1] dx

Distribuimos:

∫ tan³(x) dx = ∫ tan(x) * sec²(x) dx - ∫ tan(x) dx

Para resolver la primera integral, tomamos t = tan(x), de manera que dx = dt / sec²(x) [podés hacerlo paso por paso para comprobar]. Entonces:

∫ tan(x) * sec²(x) dx = ∫ tan(x) dt = ∫ t dt = [t²]/2 = [tan²(x)]/2

En cuanto a la segunda integral, es directa. Para eso, planteamos la tangente como sen(x) / cos(x), es decir que nos queda:

∫ tan(x) dx = ∫ sen(x)/cos(x) dx = - ∫ -sen(x)/cos(x) dx

Que es directa, ya que responde a la forma u' / u. Entonces:

∫ tan(x) dx = - Ln|cos(x)|

Finalmente:

∫ tan³(x) dx = [tan²(x)]/2 - [- Ln|cos(x)|]

...