Unidad 1 Algebra

1.1 Definición y origen de los números complejos.

Historia de los números complejos

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.

Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

Definición

Un número complejo z es una combinación lineal de la forma z=(a+bi) en donde a y b son números reales. Al número a se le llama la parte real de z, a = Re(z), y al número b la parte imaginaria de z, b = Im(z). A la expresión a + bi de un número complejo z se le conoce como la forma estándar de z.

Ejemplos:

Decimos que dos números complejos z = a + bi, w = c + di, son iguales z = w, si y solo si a = c y b = d.

Los conjuntos de la forma (a;0) son números reales puros (CR) y se encuentran en el eje real. Los conjuntos de la forma (0;b) se denominan complejos imaginarios puros(CI) y se encuentran en el eje imaginario.

Opuesto y conjugado de un numero complejo

Dado: z=(a;b) su opuesto es -z=(-a;-b)

Dado: z=(a;b) su conjugado es z=(a;-b)

Complejo nulo

z=(a;b) es nulo si a=b=0, anotándose z=(0;0)

=Interpretación geométrica=

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje x se llama eje real y el eje y se llama eje imaginario

Número imaginario

La unidad imaginaria es el número y se designa por la letra i.

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

Adicción

Dados los complejos Z1 = (a;b) y Z2 = (c ;d). Se define Z1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d)

Sustracción

Se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo: Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a – c ; b-d)

Multiplicación

Dados los complejos Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)

Potenciación

La potenciación de un numero complejo con potencia natural, se resuelve como una multiplicación reiterada: Zn = (a ; b)n = (a ;b)1.(a ; b)2……(a ; b)n asociado de a dos pares los pares ordenados.

Forma Binomial

La forma Binomial de un numero complejo es: Z = a + bi

Operaciones de números complejos en su forma Binomial: La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre si y partes imaginarias entre si.

• +(a +bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i

• -(a +bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d) i

Multiplicación con números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = -1 (a + bi) – (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc) i

División con números complejos

El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

Ejemplo

(3 + 2i) + 8-7-i) = (3-7) + (2i – i) = -4 + i

= (5 + 3i) + {(-1 + 2i) + (7-5i)}

=(5 + 3i) + {(-1 + 7) + (2i – 5i)}

= (5 + 3i) + (6 – 3i)

= (5 + 6) + (3i – 3i)

= 11

1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.

Potencias de la unidad imaginaria

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

Ejemplo

i22

i22 = (i4)5 • i2 = − 1

Valor absoluto

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano. Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w. Por definición,

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