Unidad 3 IO

UNIDAD 3 PROGRAMACIÓN NO LINEAL

3.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN NO LINEAL

La Programación no Lineal (PNL) es una parte de la Investigación Operativa cuya misión es proporcionar una serie de resultados y técnicas tendentes a la determinación de puntos óptimos para una función (función objetivo) en un determinado conjunto (conjunto de oportunidades), donde tanto la función objetivo, como las que intervienen en las restricciones que determinan el conjunto de oportunidades pueden ser no lineales.

Evidentemente, la estructura del problema puede ser muy variada, según las funciones que en él intervengan (a diferencia de la Programación Lineal (PL) donde la forma especial del conjunto de oportunidades y de la función objetivo permite obtener resultados generales sobre las posibles soluciones y facilitan los tratamientos algorítmicos de los problemas). La Programación no Lineal (PNL) es una parte de la Investigación Operativa cuya misión es proporcionar una serie de resultados y técnicas tendentes a la determinación de puntos óptimos para una función (función objetivo) en un determinado conjunto (conjunto de oportunidades), donde tanto la función objetivo, como las que intervienen en las restricciones que determinan el conjunto de oportunidades pueden ser no lineales.

Ello ocasiona una mayor dificultad en la obtención de resultados, que se refleja también en la dificultad de la obtención numérica de las soluciones. En este sentido, hay que distinguir entre las diversas caracterizaciones de óptimo, que sólo se emplean como técnicas de resolución en problemas sencillos, y los métodos numéricos iterativos, cuyo funcionamiento se basa en estas caracterizaciones, para la resolución de problemas más generales.

CONCEPTOS BASICOS

La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.

Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.

Función objetivo

En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables:

f(x,y) = ax + by.

Restricciones

La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:

a1x + b1y ≤ c1

a2x + b2y ≤c2

… … …

anx + bny ≤cn

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

Solución factible

El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.

Solución óptima

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso).

Valor del programa lineal

El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.

PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL

1. Elegir las incógnitas.

2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.

3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.

5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).

6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado).

3.2 ILUSTRACIÓN GRÁFICA DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN NO LINEAL

Cuando un problema de programación no lineal tiene solo una o dos variables, se puede representar gráficamente de forma muy parecida al ejemplo de Wyndor Glass Co. de programación lineal. Una representación gráfica de este tipo proporciona una visión global de las propiedades de las soluciones óptimas de programación lineal y no lineal. Con el fin de hacer hincapié en las diferencias entre programación lineal y no lineal, se usaran algunas variaciones no lineales del problema de la Wyndor Glass Co.

La siguiente figura muestra lo que ocurre con este problema si los únicos cambios que se hacen al modelo, son que la segunda y la tercera restricciones funcionales se sustituyen por la restricción no lineal 9×1/2 + 5 x 2/2 ≤ 216. La solución óptica sigue siendo (x1,x2) = (2,6). Todavía se encuentra sobre la frontera de la región factible en un vértice (FEV).La solución óptica puedo haber sido una solución FEV con una función objetivo diferente.

La representación grafica de la figura 2 indica que la solución optima es x1 8/3 , x2=5, que de nuevo se encuentra en la frontera de la región factible. (El valor optimo de Z es Z=857; asi la figura muestra el hecho de que el lugar geométrico de los puntos para los que Z=857 tiene en común con la región factible, solo este punto, mientras que el lugar geométrico de los puntos con Z más grande no toca la región factible en ningún punto).

por otro lado, si

Entonces la figura 3 ilustra que la solución optima es (x1,x2) = (3,3) que se encuentra dentro de la frontera de la región factible.(Se puede comprobar que esta solución es óptima si se usa el cálculo para derivarla como máximo global no restringido; como también satisface las restricciones, debe ser óptima para el problema restringido.) por lo tanto es necesario que un algoritmo general para resolver problemas de este tipo tome en cuenta todas las soluciones en la región factible y no solo aquellas que están sobre la frontera.

Otra complicación que surge en programación no lineal es que un máximo local no necesariamente es un máximo global(la solución optima global). Por ejemplo, Considere la función de una sola variable graficada en la figura 4. en el intervalo 0≤x≥5, esta función tiene tres máximos locales —-x=0,x=2,x=4—- pero solo uno de estos —-x=4—- es un máximo global.(De igual manera, existen mínimos locales en x=1,3 y 5, pero solo x=5 es un mínimo global.)

En general, los algoritmos de programación no lineal no puede distinguir entre un máximo local y un máximo global (excepto si encuentran otro máximo local mejor), por lo que es determinante conocer las condiciones bajo las que se garantiza que un máximo local es un máximo global en la región factible.

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