Unidad De Estadistica Inferencial 1

2.9 Intervalo de confianza para variables

Dada una variable aleatoria con distribución Binomial B(n, p), el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro p, basada en una observación de la variable que ha dado como valor x. El mismo caso se aplica si estudiamos una Binomial B(1, p) y consideramos el número de veces que ocurre el suceso que define la variable al repetir el experimento n veces en condiciones de independencia.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA.

Si tenemos una población con desconocida, entonces

El intervalo de confianza para la varianza poblacional al nivel de confianza lo podemos obtener como sigue:

Despejando tenemos:

Es decir,

Existen dos alternativas a la hora de construir un intervalo de confianza para p:

Considerar la aproximación asintótica de la distribución Binomial en la distribución Normal.

Utilizar un método exacto.

Aproximación asintótica

Tiene la ventaja de la simplicidad en la expresión y en los cálculos, y es la más referenciada en la mayoría de textos de estadística. Se basa en la aproximación

×~B(n,p)→N(np,√npq)

que, trasladada a la frecuencia relativa, resulta

p=X/n→N(P,√pq/n)

Tomando como estadístico pivote

Z=(P-P)/(√(Pq) ́⁄n)

que sigue una distribución N(0, 1), y añadiendo una corrección por continuidad al pasar de una variable discreta a una continua, se obtiene elIntervalo de confianza asintótico:

P ̂±Z_(a/2√((pq ̂ ) ̂/n+1/2n))

Donde zα/2 es el valor de una distribución Normal estándar que deja a su derecha una probabilidad de α/2 para un intervalo de confianza de (1 − α) • 100 %. Las condiciones generalmente aceptadas para considerar válida la aproximación asintótica anterior son:

n≥30 np ̂≥5 nq ̂≥5

El intervalo obtenido es un intervalo asintótico y por tanto condicionado a la validez de la aproximación utilizada. Una información más general sobre los intervalos de confianza asintóticos puede encontrase aquí.

Intervalo exacto

Aun cuando las condiciones anteriores no se verifiquen, es posible la construcción de un intervalo exacto, válido siempre pero algo más complicado en los cálculos. Es posible demostrar que un intervalo exacto para el parámetro p viene dado por los valores siguientes:

p_(1=X/((n-X+1) F_(a/2,2(n-x+1)2x+x) ) ) p_(2=((X+1) F_(a/2,2(x+1)2(n-x)))/((n-x)+(x+1) F_(a/2,2(x+1)2(n-x)) ))

Donde Fα/2,a,b es el valor de una distribución F de Fisher-Snedecor con a y b grados de libertad que deja a su derecha una probabilidad de α/2 para un intervalo de confianza de (1 − α) • 100 %.

Una justificación de los intervalos de confianza exactos para distribuciones discretas puede encontrarse aquí.

En el programa siguiente se pueden calcular los intervalos de confianza asintótica y, si n es menor de 100, también el exacto para una proporción.

Ejemplo:

Ejercicios:1

Ejemplo: De acuerdo con las tablas de altura, los varones tienen una altura superior a las mujeres en la población española. Según las últimas tablas en el servicio militar, los varones entre 18 y 20 años presentan una varianza de 0'0529. de las mujeres no tenemos información, por ello tomamos una muestra de 101 mujeres entre 18 y 20 años y obtenemos ¿Entre qué valores se encontrará la verdadera varianza a un nivel de 0'95 de confianza?

Sustituyendo en el intervalo tendremos:

[(100.〖018〗^2)/12956,(100.〖018〗^2)/7422]=⌈0025,00436⌉

Ejercicio 2. Se quiere obtener un intervalo de confianza para el valor de las ventas medias por hora que se producen en un kiosco. Para ello realizamos una muestra consistente en elegir al azar las ventas que se realizaron durante 1000 horas distintas; muestra cuyos resultados fueron: ventas medias por hora 4000 pts, y varianza de dicha muestra 4000 pts al cuadrado. Obtener dicho intervalo con un nivel de confianza del 95.5 %.

Queremos construir un intervalo para la media con las siguientes características:

Tamaño muestral = n =1000, muestreo aleatorio simple

la población no es normal ni conocemos su varianza ,

el resultado de la muestra es :

si bien se trata de un intervalo para la media con varianza desconocida y población no normal , dado que el tamaño muestral es grande podemos suponer normalidad y tomar como varianza poblacional a la muestral así :

(ir a script de solución)

p[x ̅-∄⁄2 σ/√(n )≤x ̅+∄⁄2 ≤μ≤x ̅+∄⁄2 σ/√n ]=1-a

dado que para nivel de confianza del 95,5% las valores de

(ir a script de la normal) son según tablas 2,-2 tendremos el intervalo :

p[4000-2 63,24/√1000 ≤μ≤4000+2 63,24/(√1000)]=0.955

Luego el intervalo será μϵ[3996.4004]connivel de confianza del 95.5%

Ejemplo

...