WHERE THAT YOU

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior

Universidad Rafael Urdaneta

[pic 1]

[pic 2]

Realizado por:

Jonathan Chourio. 19138554

Maracaibo, Julio del 2008

Esquema

A.- Derivadas:

        1.- Teorema De Taylor.

        2.- Diferenciación Numérica.

                2.1.- Aproximación a la primera derivada con diferencia hacia atrás.

                2.2.- Aproximación a la primera derivada con diferencias centradas.

                2.3.- Aproximación de derivadas por diferencias finitas divididas.

                2.4.- Aproximación por diferencias finitas para derivadas de orden superior.

B.- Integrales:

        1.- Formulas de Newton – Cotes.

        2.- La regla del trapecio.

        3.- La regla del trapecio de aplicación múltiple.

        4.- Regla de Simpson.

        5.- Regla de Simpson de aplicación múltiple.

6.- Regla de Simpson 3/8.

Desarrollo

A.- Derivadas:

1.- Serie de Taylor:

Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: E (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si [pic 3]≥ 0 es un entero y [pic 4]una función que es derivable [pic 5]veces en el intervalo cerrado [[pic 6], [pic 7]] y n+1 en el intervalo abierto ([pic 8], [pic 9]), entonces se cumple que:

[pic 10]

O en forma compacta

(1b) [pic 11]

Donde, [pic 12] denota el factorial[pic 13], y [pic 14] es el resto, término que depende [pic 15]y es pequeño si [pic 16] está próximo al punto[pic 17]. Existen dos expresiones para [pic 18] que se mencionen a continuación:

[pic 19]

Donde [pic 20]y [pic 21], pertenecen a los números reales, [pic 22]a los enteros y [pic 23]es un número real entre [pic 24]y [pic 25].

[pic 26]

Si [pic 27]es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.

Para algunas funciones [pic 28], se puede probar que el resto, [pic 29], se aproxima a cero cuando [pic 30]se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto [pic 31]y son denominadas funciones analíticas.

El teorema de Taylor con [pic 32]expresado de la segunda forma es también válido si la función [pic 33]tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

2.- Diferenciación Numérica

El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas.

Formulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x" esta dada en términos del límite:

[pic 34]

De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:

[pic 35]

(Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formula numérica para aproximar la derivada:

[pic 36]

Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta formula, tratemos de constestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor sabemos que:

[pic 37]

Donde esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta formula por f'(x) y usamos la definición de [pic 38]tenemos que: [pic 39]

[pic 40]

Esta formula nos dice que [pic 41]aproxima a f'(x) con un error proporcional a "h", i.e…

2.1.- Aproximación A La Primera Derivada Con Diferencias Hacia Atrás:

La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual, dado por: 

Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos se obtiene:

Donde los errores son 0 y el diferencial indica la primera diferencia dividida hacia atrás.

2.2.- Aproximaciones A La Primer Derivada Con Diferencias Centrales:

...