Álgebra Boolena

Algebra Booleana.

Es una estructura que depende principalmente de las operaciones binarias cerradas, y una operación monaria o (unaria).

Un algebra booleana finita debe tener 2n elementos. Un interruptor eléctrico puede encenderse o apagarse. Esto es un dispositivo con dos estados. Para analizar estos dispositivos con dos estados abstraemos conceptos como verdaderos y falsos, encendidos y apagados.

Sea B= {1, 0}

Y sean dos operaciones + y * definimos como:

+ 1 0

1 1 1

0 1 0

* 1 0

1 1 0

0 0 0

Sea B= {0, 1} Definimos la suma y complemento para los elementos de B.

a) 0+0=0; 0+1=1+0 1+1=1

b) 0*0=0; 1¨0=0*1 1*1=1

c) 0´=1; 1´=0

Una variable X es una variable booleana si X solo toma valores de B. en consecuencia, X+X=X

X^2=X*X para cualquier variable booleana X.

Si X, Y son variables Booleanas.

Si X+Y=0 Si X=Y=0

Si X*Y=1 Si X=Y=1

Reglas del Algebra Booleana.

1) A+0

2) A+1

3) A+0

4) A+1

5) A+A

6) A+A

7) A*1

8) A*A

9) A´´=0

10) A+AB=A

11) (A+B)(A+B)=A+BC

Teoremas fundamentales.

Ley de idempotente.

1) I) a+a=a , ii) a*a=a

a=a*1

=a*(a+a)

=(a*a)+(a*a´)

=(a*a)+0

=(a*a)

=0

2) (a+a)

a+1=a+(a+a´)

=(a+a)+a´

=a+a´

=1

F(X, Y, Z)

X Y Z XY XY+Z

0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 0

0 1 1 0 1

1 0 0 0 0

1 0 1 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 1 1

1) f+(gh)=(f+g)(f+h) Por el principio de dealidad tenemos que:

2) f(g+h)=(f*g)(f*h) f(g+h)=(fg)+(f*h)

f g h gh f+g f+h f+gh (f+g)(f+h)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

wy+xy+wz+xz

g(w+x)+z(w+x)

(w+x)(y+z)

AB+BC+A´B´C

AB(C+C´)+BC(A+A´)A´BC

((xy)z´)((x´+z)(y´+z))´

(xy)´´+z´)((x´+z)´+(y´+z´)´

(xy+z´)((x´´z´)+(y´´z´)

(xy+z´)(xz´+yz´)

xyxz+xyyz´+z´yz´+z´yz´

xyz´+zx+zy

yz´(x+1)+z´x

yz´+z´x

Forma normal disyuntiva.

xy+x´z

xy(z+z´)+x´z(y+y´)

xyz+xyz+xyz+x´zy´

wxy+wyz´+xy

wxy(z´+z)+wyz(x+x´)+xy((w+w´)+(z+z´))

wxyz´+wxyz+wyzx´+xywz+xywz´

wyxz+wxyz´+wyz´x+wyz´x´+xywz+xywz+xyw´z+xyw´z+xyw´z´

...