Ínfimo Y Supremo.

Supremo e nmo de un conjunto

Objetivos. Denir las nociones del supremo y del nmo de un conjunto y estudiar sus

propiedades basicas.

Requisitos. Eje real extendido, cotas superiores e inferiores.

Supremo de un conjunto

1. Denicion (supremo de un conjunto). Sea A  R. Un elemento b 2 R se llama

supremo de A o cota superior exacta de A si b es la cota superior mnima de A, es decir,

el elemento mnimo del conjunto de todas las cotas superiores de A.

2. Unicidad del supremo. De la denicion esta claro que si existe un supremo de A,

entonces es unico.

3. Supremo del conjunto vaco. Encuentre el supremo del conjunto vaco.

4. Conjuntos no acotados superiormente. Un conjunto A  R se llama no acotado

superiormente si su unica cota superior es +1. >Cual es el supremo de un conjunto no

acotado superiormente?.

5. Existencia del supremo de todo subconjunto no vaco acotado superiormente

(sin demostracion). Todo conjunto A  R no vaco y acotado superiormente posee un

unico supremo.

Uniendo los tres casos concluimos:

6. Existencia del supremo de todo subconjunto del eje real extendido. Todo

subconjunto A de R tiene un unico supremo. Notacion: sup(A).

7. Descripcion del supremo mediante un sistema de dos condiciones. Un ele-

mento b 2 R es el supremo de un conjunto A  R si y solo si se cumplen dos condiciones:

1. 8a 2 A a  b.

2. 8c < b 9a 2 A a < c.

Supremo e nmo de un conjunto, pagina 1 de 2

Inmo de un conjunto

8. Escriba la denicion del nmo (notacion: nf) y los enunciados correspondientes.

9. Describa el nmo de un conjunto mediante un sistema de dos condiciones.

Supremo e nmo de la union de dos conjuntos

10. Sean A;B  R. Entonces

sup(A [ B) = max



sup(A); sup(B)

; nf(A [ B) = mn



nf(A);nf(B)

:

Monotonicidad del supremo y del nmo

11. Sean A;B 2 R tales que A  B. Entonces supA  supB.

12. Sean A;B 2 R tales que A  B. Entonces nf A nf B.

Supremo, nmo y operaciones aritmeticas

13. Denicion (operaciones aritmeticas con conjuntas). Sean A;B  R. Entonces:

A + B := fc 2 R: 9a 2 A; 9b 2 B tales que c = a + bg;

AB := fc 2 R: 9a 2 A; 9b 2 B tales que c = abg:

Sean A  R, b 2 R. Entonces:

A + b = b + A := A + fbg = fc 2 R: 9a 2 A tal que c = a + bg;

Ab = bA := Afbg = fc 2 R: 9a 2 A tal que c = abg;

...