Conversión de coordenadas

Conversión de coordenadas

Coordenadas rectangulares

Conversión de Rectangulares (x, y, z) a Cilíndricas (r, θ, z) y viceversa.[pic 1]

         x = r cos θ[pic 2]

                y = r sen θ[pic 3]

Z = Z                        Z = Z

Ejemplos:

1.-Determine la coordenada cilíndrica del punto cuya coordenada rectangular es:

A (3, -2, 1)

Solución:

Para calcular “r”, se usan los valores de “x” y “y”, sustituyendo en la ecuación, resulta:

[pic 4]

Entonces, se tiene que  = 3.61[pic 5]

La coordenada “A” se encuentra en el IV octante, entonces, según la regla para el ángulo θ:

 →  [pic 6][pic 7]

Por último, la coordenada z en cilíndricas es la misma que en coordenadas rectangulares, esto es: Z = 1

Entonces, la coordenada Cilíndrica del punto A (3, -2, 1) son:                          

  A (, 326.31°, 1)[pic 8]

2.- Determine las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas de cilíndricas son:

B (2, -45°, 2)

Solución: Punto B

B (r,    θ,    z)

B (2, -45°, 2) Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes:

X = r cos θ                x= 2 cos (-45°)        x= √2 = 1.41

Y= r sen θ                y=2 sen (-45°)        y= -√2 = -1.41

Z=Z                        Z=2

Así que las coordenadas rectangulares de B (2, -45°, 2) son:

B (√2, -√2, 2)

Coordenadas Esféricas

Conversión de Esféricas (ρ, θ, Φ) a Rectangulares (x, y, z) y viceversa.[pic 9]

x = ρ sen Φ cos θ        [pic 10]

y = ρ sen Φ sen θ        [pic 11]

z = ρ cos Φ                [pic 12]

Sistema de coordenada en   donde los puntos se trazan sobre la superficie de una esfera de radio ρ.[pic 13]

• ρ: Es la distancia del origen de coordenadas al punto A.
• θ: Es el ángulo medido desde el lado positivo del eje X hasta el radio vetor de la proyección del punto A sobre el plano XY.
• Φ: Es el ángulo medido desde el lado positivo del eje z hasta el radio vector que va del origen al punto A.

Ejemplos:

1.-Determine la coordenada rectangular del punto cuya coordenada esférica es:

A (6, 60°, 60°)

Solución: Punto A

A (ρ,   θ,   Φ)

      ↓    ↓    ↓   

A (6, 60°, 60°): Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes:

x= ρ sen Φ cos θ        x= 6 • sen 60° • cos 60°        x= 6 •  •         x=2.59[pic 14][pic 15]

y= ρ sen Φ sen θ        y= 6 • sen 60° • sen 60°        y= 6 •  •        y=4.5[pic 16][pic 17]

z= ρ cos Φ         z= 6 • cos 60°        x= 6 •                         z=3[pic 18]

Así la coordenada Rectangular del punto A (6, 60°, 60°) es:

A (2.59, 4.5, 3)

2.- Determine las coordenadas esféricas de los puntos cuyas coordenadas rectangulares son:

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